auch Logik der infinitären Sprachen genannt.

Eine infinitäre Sprache L_{α, β} ist eine Erweiterung der elementaren SpracheL, wobei α, β unendliche <?PageNum _486Kardinalzahlen sind, L_{α, β} die gleichen Grundzeichen wie L enthält, jedoch ist die Anzahl der in L_{α, β} vorkommenden Individuenvariablen gleich max{α, β}.

Die Regeln der Ausdrucksbildung werden wie folgt erweitert:

1. Alle Ausdrücke aus L sind auch Ausdrücke in L_{α, β}.
2. Ist I eine Indexmenge mit einer Mächtigkeit |I| < α, und ist {ϕ_v : v ∈ I} eine Menge von Ausdrücken in L_{α, β}, dann sind auch \(\begin{eqnarray}{\wedge }_{v\in I}{\varphi }_{v}\end{eqnarray}\) und \(\begin{eqnarray}{\vee }_{v\in I}{\varphi }_{v}\end{eqnarray}\) Ausdrücke. (Nicht nur endliche Konjunktionen bzw. Alternativen sind zugelassen, sondern auch solche mit einer Mächtigkeit < α.)
3. Ist J eine Indexmenge mit |J| < β, und ist ϕ ein Ausdruck in L_{α, β}, in dem die Variablen {x_v : v ∈ J} vorkommen, aber nicht quantifiziert auftreten, dann sind auch \(\begin{eqnarray}{\forall }_{v\in J}{x}_{v}\varphi \end{eqnarray}\) und \(\begin{eqnarray}{\exists }_{v\in J}{x}_{v}\varphi \end{eqnarray}\) Ausdrücke. (Quantifizierungen über Mengen von Variablen mit einer Mächtigkeit < β sind zugelassen.)
4. Keine weiteren Zeichenreihen sind Ausdrücke. Für α = β = ω (ω = Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen) erhält man L als Spezialfall: L = L_{ω, ω}.

Diese infinitären Sprachen besitzen eine stärkere Ausdrucksfähigkeit als elementare Sprachen. Dadurch lassen sich weitere Eigenschaften von algebraischen Strukturen beschreiben, die in L nicht ausdrückbar sind (z. B. endlich bzw. unendlich zu sein oder als Struktur eine archimedische bzw. nichtarchimedische Ordnung zu besitzen). Für die erweiterten Sprachen L_{α, β} gelten aber grundlegende Sätze der klassischen Logik nicht mehr, falls max{α, β} >ω, insbesondere gilt der Kompaktheitssatz der Modelltheorie nicht. Damit stehen wichtige Hilfsmittel zur Untersuchung algebraischer Strukturen nicht zur Verfügung, wodurch die Bedeutung dieser Logiken begrenzt bleibt.