eine Teilmengenbeziehung zwischen Fuzzy-Mengen.

Eine Fuzzy-Menge \(\begin{eqnarray}\tilde{A}\end{eqnarray}\) über X ist genau dann in der unscharfen Menge \(\begin{eqnarray}\tilde{B}\end{eqnarray}\) über X enthalten, geschrieben \(\begin{eqnarray}\tilde{A}\subseteq \tilde{B}\end{eqnarray}\), wenn für die Zugehörigkeitsfunktion gilt: \begin{eqnarray}{\mu }_{A}(x)\le {\mu }_{B}(x)\quad\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\, \mathrm{alle}\,x\in X.\end{eqnarray}

Gilt für alle x ∈ X das strenge Ungleichheitszeichen, so heißt \(\begin{eqnarray}\tilde{A}\end{eqnarray}\) echt enthalten in \(\begin{eqnarray}\tilde{B}\end{eqnarray}\): \begin{eqnarray}\tilde{A}\subset \tilde{B}\iff {\mu }_{A}(x)\lt {\mu }_{B}(x)\,\quad\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\, \mathrm{alle}\,x\in X.\end{eqnarray}

Inklusionen von Fuzzy-Mengen weisen die folgenden Eigenschaften auf: \begin{array}{l}\tilde{\varnothing }\subseteq \tilde{A}\quad\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\, \mathrm{alle}\,\tilde{A}\in \tilde{{\mathfrak{P}}}(X),\\ (\tilde{A}\subseteq \tilde{B}\,\,\text{und}\,\,\tilde{B}\subseteq \tilde{A})\quad\Rightarrow\quad \tilde{A}=\tilde{B},\\ \tilde{A}\subseteq \tilde{B}\quad\Rightarrow\quad \text{supp}(\tilde{A})\subseteq \text{supp}(\tilde{B}),\end{array} und die Transitivität \begin{eqnarray}(\tilde{A}\subseteq \tilde{B}\,\,\text{und}\,\,\tilde{B}\subseteq \tilde{A})\quad\Rightarrow\quad \tilde{A}\subseteq \tilde{D}.\end{eqnarray}

Aus der Transitivität folgt, daß die Inklusion „⊆“ eine Halbordnung auf der Menge \(\begin{eqnarray}{\mathfrak{P}}\text{(}X\text{)}\end{eqnarray}\) aller Fuzzy-Teilmengen von X bildet.