eine orthogonale Matrix der Form \begin{eqnarray}{G}_{ij}(\alpha )=I+(\cos \alpha -1)({e}_{i}{e}_{i}^{T}+{e}_{j}{e}_{j}^{T})+\sin \alpha ({e}_{i}{e}_{j}^{T}-{e}_{j}{e}_{i}^{T}),\end{eqnarray} wobei I = (e₁e₂…e_n) die Einheitsmatrix sei.

G_ij(α) ist also von der Gestalt \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{lllllllllll}1 & & & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & & & \\ & & 1 & & & & & & & & \\ & & & \cos \alpha & & & & \sin \alpha & & & \\ & & & & 1 & & & & & & \\ & & & & & \ddots & & & & & \\ & & & & & & 1 & & & & \\ & & & -\sin \alpha & & & & \cos \alpha & & & \\ & & & & & & & & 1 & & \\ & & & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & & & 1\end{array}\right)\end{eqnarray} .\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\uparrow & \uparrow \\ \text{i}-\text{te Spalte} & \text{j}-\text{te Spalte}\end{array}\end{eqnarray}

Geometrisch beschreibt \({G}_{ij}(\alpha )\) eine Drehung um den Winkel α in der von den Einheitsvektoren e_i und e_j aufgespannten Ebene. Mit Hilfe dieser Matrizen können einzelne Elemente in Vektoren oder Matrizen eliminiert werden.

Multipliziert man einen Vektor y von vorne mit \({G}_{ij}(\alpha )\), so ändern sich in \(x={G}_{ij}(\alpha )y\) nur die Elemente \begin{eqnarray}{x}_{i}=\cos \alpha {y}_{i}+\sin \alpha {y}_{i}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{x}_{j}=-\sin \alpha {y}_{i}+\cos \alpha {y}_{i},\end{eqnarray} für alle anderen Einträge von x gilt x_k = y_k.

Den Winkel α kann man nun so wählen, daß in x der j-te Eintrag Null wird: \begin{eqnarray}\cot \alpha =\frac{{y}_{i}}{{y}_{j}}.\end{eqnarray} Da man den Winkel α selbst nicht benötigt, sondern nur cos α und sin α, setzt man sofort \begin{eqnarray}\sin \alpha =\frac{{y}_{j}}{\sqrt{{y}_{i}^{2}+{y}_{j}^{2}}},\quad\cos \alpha =\frac{{y}_{i}}{\sqrt{{y}_{i}^{2}+{y}_{j}^{2}}}.\end{eqnarray} Die tatsächliche Berechnung sollte allerdings anders erfolgen. Bezeichne dazu c = cos α und s = sin α. Ist eine Komponente, etwa y_j, betraglich viel größer als die andere, so daß \begin{eqnarray}(|{y}_{i}{|}^{2}+|{y}_{j}{|}^{2})\approx |{y}_{j}{|}^{2},\end{eqnarray}

so wird c ≈ 1, und es geht wesentliche Information verloren. Besser ist, numerisch gesehen, die folgende Berechnung: Falls |y_j| ≥ |y_i|, so berechne \begin{eqnarray}\tau :=\frac{{y}_{i}}{{y}_{j}},\,\, c:=\frac{1}{\sqrt{1+{\tau }^{2}}},\,\,s:=c\tau, \end{eqnarray} andernfalls berechne \begin{eqnarray}\tau :=\frac{{y}_{j}}{{y}_{i}},\,\,s:=\frac{1}{\sqrt{1+{\tau }^{2}}},\,\,c:=s\tau. \end{eqnarray} Dadurch vermeidet man zugleich auch Exponentenüberlauf.

Führt man eine Ähnlichkeitstransformation einer Matrix A mit einer Matrix \({G}_{ij}(\alpha )\) durch, so ändern sich aufgrund der speziellen Struktur von \({G}_{ij}(\alpha )\) nur die Zeilen und Spalten i und j von A, alle anderen Einträge bleiben unverändert. Je nachdem, ob die Rotation verwendet wird, um ein Element in den vier Kreuzungspunkten dieser Zeilen und Spalten zu eliminieren (d. h. um a_ii, a_ij, a_ji oder a_jj zu eliminieren) oder um ein anderes Element in den Zeilen oder Spalten i oder j zu eliminieren, unterscheidet man zwischen einer Jacobi-Rotation und einer Givens-Rotation. Im Jacobi-Verfahren zur Lösung des Eigenwertproblems werden stets Matrixelemente a_ij und a_ij, also Elemente im Kreuzungsbereich der veränderten Zeilen und Spalten, eliminiert. Givens-Rotationen verwendet man typischerweise bei der Reduktion einer Matrix A auf obere Hessenberg-Form im Rahmen des QR-Algorithmus; dabei muß darauf geachtet werden daß das zu vernullende Elemente nicht im Kreuzungsbereich der veränderten Zeilen und Spalten liegt.

Die Matrizen G_ij können nur zur Elimination einzelner Elemente reeller Vektoren oder Matrizen verwendet werden. Für eine komplexe Variante einer Jacobi- bzw. Givens-Matrix G_ij ersetzt man die 4 Elemente, in denen sich G_ij von der Einheitsmatrix unterscheidet, also die Teilmatrix \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right),\end{eqnarray} durch \begin{eqnarray}\left(\begin{array}{cc}c & \bar{s}\\ -s & c\end{array}\right)\end{eqnarray} mit c² + |s|² = 1 und \(c\in {\mathbb{R}}\).