Beispiel einer komplexen Mannigfaltigkeit.

Auf ℂⁿ⁺¹ \ 0} werde folgende Relation erklärt: ζ₁ ∼ ζ₂ genau dann, wenn es ein t ∈ ℂ \{0} mit ζ₂ = t · ζ₁ gibt. Offensichtlich ist „∼“ eine Äquivalenzrelation, und man bezeichnet mit [ζ₀] = {ζ = tζ₀ : t ∈ ℂ \{ 0}}. die Äquivalenzklasse von ζ₀ ∈ ℂⁿ⁺¹ \ {0}.

Die Menge \begin{eqnarray}{\mathbb{P}}^{n}:=\{[\zeta \in {{\mathbb{C}}}^{n+1}\backslash \{0\}]\}\end{eqnarray}

nennt man den n-dimensionalen komplex-projektiven Raum, die Abbildung π : ℂⁿ⁺¹ \ {0} → ℙⁿ mit {π(ζ) := [ζ ] bezeichnet man als die natürliche Projektion. π ist eine surjektive Abbildung, und man versieht ℙⁿ mit der feinsten Topologie, für die π stetig wird. Eine Menge U ⊂ ℙⁿ ist also genau dann offen, wenn π⁻¹(U) ⊂ ℂⁿ⁺¹ \{0} offen ist.

Es sei, mit ζ = (z₀, …, z_n) ∈ ℂⁿ⁺¹, \begin{eqnarray}{U}_{i}:=\{[\zeta ]:{z}_{i}\ne 0\}\subset {\mathbb{P}}^{n}.\end{eqnarray}

Dann erhält man eine Bijektion φ_i : U_i → ℂⁿ durch \begin{eqnarray}{\varphi }_{i}([{z}_{0},\ldots,{z}_{n}]):=\left(\frac{{z}_{0}}{{z}_{i}},\ldots \frac{{z}_{i}-1}{{z}_{i}},\frac{{z}_{i+1}}{{z}_{i}},\ldots \frac{{z}_{n}}{{z}_{i}}\right).\end{eqnarray}

Die Übergangsabbildungen \({\phi }_{j}\circ {\phi }_{i}^{-1}\) sind biholomorph. Die „Koordinaten“ ζ = [z₀, …, z_n] nennt man die homogenen Koordinaten auf dem ℙⁿ, die Koordinaten, die durch die φ_i gegeben sind, die euklidischen Koordinaten. ℙⁿ ist kompakt, da es eine stetige surjektive Abbildung von der Einheitssphäre im ℂⁿ⁺¹ auf den ℙⁿ gibt. ℙ¹ ist gerade die Riemannsche Sphäre ℂ∪{∞}. Man erhält den folgenden Satz:

Der n-dimensionale komplex-projektive Raum ist eine kompakte n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, und die natürliche Projektion π : ℂⁿ⁺¹ \ {0} → ℙⁿist holomorph.

[1] Griffiths,P.; Harris, J.: Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons New York/Toronto, 1978.
[2] Kaup, B.; Kaup, L.: Holomorphic Functions of Several Variables. Walter de Gruyter Berlin/New York, 1983.