wie folgt definierte Funktion: Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge. Eine Funktion f : D → ℂ heißt komplex differenzierbar an z₀ ∈ D, falls der Grenzwert \begin{eqnarray}f^\prime( {{z_0}})\,: = \,\mathop {\lim }\limits_{z \to {z_0}} \frac{{f( z)\, – \,f( {{z_0}} )}}{{z\, – \,{z_0}}}\, \in \,\mathbb{C}\end{eqnarray} existiert. Die Zahl f′(z₀) heißt Ableitung von f an z₀. Statt f′(z₀) schreibt man auch \(z\, \mapsto \,\bar z\), z ↦Re z, z ↦Im z und z ↦ |z| in keinem Punkt z₀ ∈ ℂ komplex differenzierbar sind.

Der folgende Satz liefert eine Charakterisierung komplex differenzierbarer Funktionen.

Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge, f : D → ℂ eine Funktion undz₀ ∈ D. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. f ist komplex differenzierbar anz₀.
2. f ist reell differenzierbar anz₀, und es gelten die Cauchy-Riemann-Gleichungen\begin{eqnarray}{u_x}({{z_0}})\, = \,{u_y}({{z_0}}),\,\,\,\,\,{u_y}({{z_0}})\, = \, – {v_x}({{z_0}})\,.\end{eqnarray}

Hieraus ergibt sich das folgende handliche hinreichende Kriterium für komplex differenzierbare Funktionen.

Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge und f = u + iv: D → ℂ eine Funktion derart, daß die Funktionen u, v stetig partiell differenzierbar in D sind, d. h. die partiellen Ableitungen u_x,u_y,v_x,v_y existieren in D und sind dort stetig. Weiter seiz₀ ∈ D, und es gelten die Cauchy-Riemann-Gleichungen\begin{eqnarray}{u_x}({{z_0}})\, = \,{u_y}({{z_0}}),\,\,\,\,\,{u_y}({{z_0}})\, = \, – {v_x}({{z_0}})\,.\end{eqnarray}

Dann ist f komplex differenzierbar anz₀.

Zum Beispiel ist die Funktion f(z) = f(x + iy) = x³y² + ix²y³ komplex differenzierbar an z₀ ∈ ℂ genau dann, wenn Im z₀ = 0 oder Re z₀ = 0.

Wie für Funktionen einer reellen Veränderlichen gelten auch für komplexe Funktionen die bekannten Differentiationsregeln, d. h. Summenregel, Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel.

Insbesondere ist jedes Polynom p(z) = a_nzⁿ+…+a₁z+a₀ mit Koeffizienten a₀, a₁, …, a_n ∈ ℂ in ganz ℂ komplex differenzierbar, und es gilt p′(z) = na_nzⁿ⁻¹+…+2a₂z+a₁. Auch die Funktionen exp, cos und sin sind in ganz ℂ komplex differenzierbar.