Eigenschaft von Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) heißt lokal flach, wenn ihr Riemannscher Krümmungstensor verschwindet. Von B. Riemann (1861) stammt das folgende Resultat:

M ist genau dann lokal flach, wenn es in einer Umgebung U eines jeden Punktes x ∈ M ein lokales Koordinatensystem (x₁,…, x_n) gibt, in dem die lokalen Koeffizienten g_ij derRiemannschen Metrik konstante Funktionen auf U sind.

Gleichwertig dazu ist die Existenz einer lokalen Isometrie (Abbildung zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten) von U auf eine offene Teilmenge des pseudounitären Raumes \({{\mathbb{R}}}_{l}^{n}\) vom selben Index l wie die Metrik g.