Grad der Fuzzineß, Unschärfemaß, Unsicherheitsmaß, Index zur Messung des Grades der Fuzzineß einer Fuzzy-Menge.

Nach de Luca und Termini ist das Maß der Fuzzineß eine Abbildung \(d:\tilde{{\mathfrak{P}}}(X)\to [0,+\infty )\), die den folgenden Bedingungen genügt: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}d(\tilde{A})=0 & \iff & \tilde{A}\,\text{ist eine klassische Teilmenge}\\ & & \text{von}\,X\end{array}\end{eqnarray}\begin{eqnarray}d(\tilde{A})\,\text{ist}\,\text{maximal}\iff \mu (x)=\frac{1}{2}\,\text{f}{\rm{\ddot{u}}}\text{r alle}\,x\in X\end{eqnarray}\begin{eqnarray}\begin{array}{ll}d({\tilde{A}}^{* })\le d(\tilde{A})\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{\mu }_{{A}^{* }}(x)\le {\mu }_{A}(x)\,\,\text{f}{\rm{\ddot{u}}}\text{r}\,\,{\mu }_{A}(x)\le \frac{1}{2}\\ {\mu }_{{A}^{* }}(x)\ge {\mu }_{A}(x)\,\,\text{f}{\rm{\ddot{u}}}\text{r}\,\,{\mu }_{A}(x)\ge \frac{1}{2}\end{array}\right.\end{array}\end{eqnarray} d. h. \({\tilde{A}}^{* }\) ist nicht so unscharf wie \(\tilde{A}\)\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}d({\tilde{A}}^{* })=d(\tilde{A}) & \iff & {\tilde{A}}^{* }\,\text{ist genau so unscharf}\\ & & \text{wie}\,\tilde{A}\end{array}\end{eqnarray}

Für eine endliche Grundmenge X formulierte Loo die folgende allgemeine Formel für \(d(\tilde{A})\)\begin{eqnarray}d(\tilde{A})=F\left[\displaystyle \sum _{i=1}^{|X|}{c}_{i}\cdot {f}_{i}({\mu }_{A}({x}_{i}))\right].\end{eqnarray}

Dabei ist F eine positive monoton steigende Funktion. Außerdem sind für alle i die Gewichtungsfaktoren c_i > 0, und die Funktionen \({f}_{i}:[0,\frac{1}{2}]\to {\mathbb{R}}\) sind streng monoton steigend und erfüllen für alle u ∈ [0,1] die Bedingungen \begin{eqnarray}\begin{array}{l}{f}_{i}(0)={f}_{i}(1)=0\\ {f}_{i}(u)={f}_{i}(1-u).\end{array}\quad \text{und}\end{eqnarray}

Spezialfälle dieser allgemeinen Formel sind:

• Der Fuzzineßindex von Kaufmann, bei dem F die Identität ist, c_i = 1 und \begin{eqnarray}{f}_{i}(u)=u\quad \text{f}{\rm{\ddot{u}}}\text{r alle}\,u\in [0,1].\end{eqnarray}
• Die Entropie einer Fuzzy-Zahl nach de Luca und Termini, für die c_i = 1, \begin{eqnarray}F(v)=kv\text{mit}k\gt 0,\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{f}_{i}(u)=-u\cdot \mathrm{ln}\,u-(1-u)\cdot \text{ln}(1-u)\end{eqnarray} gewählt wird.

Als Maß für die Fuzzineß in einer überabzählbaren Menge X schlägt Knopfmacher die Formel \begin{eqnarray}d(\tilde{A})=\frac{1}{P(X)}\displaystyle \underset{X}{\overset{}{\int }}F({\mu }_{A}(x))dP(x)\end{eqnarray} vor mit F(u) = F(1 − u) für alle u ∈ [0, 1] und F(0) = F(1) = 0. P ist ein in X definiertes Maß.

Ein vollkommen anderer Ansatz zur Messung der Fuzzineß einer Fuzzy-Menge ist der von Yager vorgeschlagene Index \begin{eqnarray}\delta (\tilde{A})=\displaystyle \underset{X}{\overset{}{\int }}|{\mu }_{A}(x)-{\mu }_{C(A)}(x)|dx,\end{eqnarray} mit dem die absolute Differenz zwischen einer Fuzzy-Menge und ihrer Komplementärmenge be rechnet wird. Je fuzzier die Menge \(\tilde{A}\) ist, um so kleiner ist dieser Index. Läßt sich eine Menge \(\tilde{A}\) nicht mehr von ihrer Komplementärmenge \(C(\tilde{A})\) unterscheiden, d.h. gilt \({\mu }_{A}(x)={\mu }_{C(A)}(x)=\frac{1}{2}\) für alle x ∈ X, so nimmt der Indexwert sein Minimum \(\delta (\tilde{A})=0\) an.