Satz über Minimal- bzw. Maximaleigenschaften von Sattelpunkten.

Ist X ⊆ ℝⁿ, U ⊆ ℝ^m und f : X × U → ℝ eine Funktion, dann heißt ein Punkt (x₀, u₀) ∈ X × U ein Sattelpunkt von f, falls für alle (x, u) gilt: \begin{eqnarray}f({x}_{0},u)\le f({x}_{0},{u}_{0})\le f(x,{u}_{0}).\end{eqnarray}

Es gilt dann der folgende Satz.

Es seien X ⊆ ℝⁿ und U ⊆ ℝ^m konvex und kompakt und f : X × U → ℝ eine bezüglich x ∈ X konvexe und bezüglich u ∈ U konkave stetige Funktion. Ist dann (x₀, u₀) ein Sattelpunkt von f, so hat f in diesem Sattelpunkt ein Minimum bezüglich x und ein Maximum bezüglich u. Weiterhin gilt:\begin{eqnarray}\mathop{\max }\limits_{u\in U}\mathop{\min }\limits_{x\in X}f(x,u)=\mathop{\min }\limits_{x\in X}\mathop{\max }\limits_{u\in U}f(x,u)=f({x}_{0},{u}_{0}).\\ \end{eqnarray}