Lexikon der Mathematik: natürlicher Spline
eine Splinefunktion, welche durch Polynome von niedrigem Grad auf die ganze reelle Achse fortgesetzt werden kann.
Es seien r ∈ ℕ, k ≥ r − 1, ein Intervall L[a, b] und Knoten a = x0< x1< … < xk< xk+1 = b gegeben. Ein Spline s ∈ C2r[a, b], welcher in jedem Teilintervall L[xi, xi+1], i = o,… ,k, ein Polynom vom Grad 2r + 1 ist, heißt natürlicher Spline, falls gilt:
\begin{eqnarray}{s}^{(j)}(a)={s}^{(j)}(b)=0,\,j=r+1,\ldots ,2r.\end{eqnarray}
Somit ist ein solcher Spline s genau dann ein natürlicher Spline, wenn eine Fortsetzung \(\tilde{s}\in {C}^{2r}({\mathbb{R}})\) existiert mit den Eigenschaften, daß \(\tilde{s}{|}_{(-\infty ,a]}\) und \(\tilde{s}{|}_{[b,\infty )}\) Polynome vom Grad r sind.
Das natürliche Spline-Interpolationsproblem
\begin{eqnarray}s({x}_{i})={c}_{i},\,i=0,\ldots ,k+1,\end{eqnarray}
besitzt für beliebig vorgegebene Daten ci genau einen natürlichen Spline s als Lösung. Diese Lösung s besitzt die folgende Minimierungseigenschaft hinsichtlich der L2-Norm ∥·∥2.
Es sei f ∈ Cr+1[a, b], f ≠ s, eine Funktion mit der Eigenschaft f (xi) = ci, i = 0,… , k + 1. Dann gilt:
\begin{eqnarray}{\Vert {s}^{(r+1)}\Vert }_{2}\lt {\Vert {f}^{(r+1)}\Vert }_{2}\end{eqnarray}
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