Transformation, die für ein homogenes Sturm-Liouvillesches Eigenwertproblem die Darstellung der Kurve \begin{eqnarray}(p(x){u}^{\prime}(x),u(x))\end{eqnarray}

in die (ξ, η) -Phasenebene in Polarkoordinaten vermittelt: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\xi (x) & = & p(x){u}^{\prime}(x)=\varrho(x)\cos \phi (x),\\ \eta (x) & = & u(x)=\varrho(x)\sin \phi (x).\end{array}\end{eqnarray}

Sieht man vom trivialen Fall ab, so gehen die Phasenbahnen nicht durch den Nullpunkt. Es ist ξ, η ∈ C¹ (J), und es existieren Funktionen ϱ, ϕ ∈ C¹ (J) mit ϱ(x) > 0 für alle x ∈ J, die die obige Gleichung erfüllen. Durch die Prüfer-Transformation erhält man schließlich mit \begin{eqnarray}{\varphi }^{\prime}=\frac{1}{p}{\cos }^{2}\varphi +(q+\lambda r){\sin }^{2}\varphi \end{eqnarray}

eine Differentialgleichung erster Ordnung für ϕ, sowie mit \begin{eqnarray}{\varrho}^{\prime}=\left(\frac{1}{p}-q-\lambda r\right)\varrho\cos \varphi \sin \varphi \end{eqnarray}

eine Differentialgleichung erster Ordnung für ϱ.