Aussage über die zeitliche Änderung des Integrals einer Funktion F, das über einer Flüssigkeit definiert ist.

\(\begin{eqnarray}{\mathfrak{r}}\end{eqnarray}\) seien die kartesischen Koordinaten eines Flüssigkeitsteilchens und t ein Zeitpunkt. Ein Flüssigkeitsvolumen V(t) mit der Oberfläche S(t) ändert seine Gestalt, seine Größe und seinen Ort mit der Zeit. V und S seien die entsprechenden Größen zum Zeitpunkt t. Mit \(\begin{eqnarray}{\mathfrak{q}}\end{eqnarray}\) werde das Geschwindigkeitsfeld der Flüssigkeitsteilchen bezeichnet. Wenn \(\hat{n}\) der Einheitsvektor normal zu S ist und \(\frac{\partial f}{\partial t}\)in V existiert, dann ist die Aussage des Reynoldsschen Transporttheorems: \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\displaystyle\frac{d}{dt}\mathop{\int }\limits_{V(t)}F({\mathfrak{r}},t)dV & = & \displaystyle\mathop{\int }\limits_{V}\displaystyle\frac{\partial F}{\partial t}+\mathop{\oint }\limits_{S}f{\mathfrak{q}}.\hat{n}dS.\end{array}\end{eqnarray}