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Lexikon der Mathematik: Sesquilinearform

Semibilinearform, Abbildung φ : V × W → ℂ (V, WVektorräume über ℂ), die linear in der ersten Komponente und semilinear in der zweiten Komponente ist (d.h. die partiellen Abbildungen \(\upsilon \mapsto \varphi (\upsilon, \omega)\) sind für alle ωW linear, und die partiellen Abbildungen \(\omega \mapsto \varphi (\upsilon, \omega)\) sind für alle vV semilinear).

Ist \({B}_{1}=({\upsilon}_{1},\ldots, {\upsilon}_{n})\) eine Basis von V undB2 = (w1,…, wm) eine Basis von W, so heißt die (n×m)- Matrix \begin{eqnarray}A:=(\varphi ({\upsilon}_{i},{\omega}_{j}))\end{eqnarray} Matrixdarstellung von φ bzgl. B1 und B2. Sind a bzw. b die Koordinatenvektoren eines Vektors vV bzgl. B1 bzw. eines Vektors wW bzgl. B2, so ist das Bild φ(v, w) gegeben durch \begin{eqnarray}{a}^{t}A\overline{b}.\end{eqnarray} Eine Sesquilinearform φ : V × W → ℂ heißt nicht ausgeartet, falls gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\text {aus}\,\varphi (\upsilon, \omega)=0\,\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\text {alle}\,\upsilon \in V\,\text{folgt}\,\omega =0;\\ \text {aus}\,\varphi (\upsilon, \omega)=0\,\mathrm f\ddot{\mathrm u}\mathrm r\,\text {alle}\,\omega \in W\,\text{folgt}\,\upsilon =0.\end{array}\end{eqnarray} Sind V und W beide n-dimensional, so ist die Sesquilinearform φ : V × W → ℂ genau dann nicht ausgeartet, falls sie bzgl. beliebiger Basen in V und W durch eine reguläre Matrix dargestellt wird.

Allgemeiner spricht man von einer λ-Sesquilinearform φ : V × W → \({\mathbb{K}}\), wenn auf \({\mathbb{K}}\) ein KörperAutomorphismus λ gegeben ist und falls φ linear in der ersten Komponente und λ-semilinear in der zweiten Komponente ist.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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