multivariate Splinefunktion spezieller Bauart, Verallgemeinerung der univariaten B-Splines.

Es seien n ≥ 1 und m ≥ 0 natürliche Zahlen und \({x}_{0},\mathrm{\ldots},{x}_{n+m}\in {{\mathbb{R}}}^{n}\) Punkte in allgemeiner Lage. Dies bedeutet, daß die konvexe Hülle conv\(({x}_{j0},\mathrm{\ldots},{x}_{jn})\)von je (n + 1) dieser Punkte jeweils ein n-Simplex bilden, also ein positives m-dimensionales Lebesgue-Maß \(vo{l}_{m}(conv({x}_{j0},\mathrm{\ldots},{x}_{in}))\) besitzen.

Die Funktion \(S(.|{x}_{0},\mathrm{\ldots},{x}_{n+m}):{{\mathbb{R}}}^{n}\mapsto {\mathbb{R}},\) definiert durch \begin{eqnarray}\begin{array}{rrr}S(x|{x}_{0},\mathrm{\ldots},{x}_{n+m}) = (n+m)!\\ vo{l}_{m}\{({\lambda}_{0},\mathrm{\ldots},{\lambda}_{n+m}):\displaystyle \sum _{i=0}^{n+m}{\lambda}_{i} = 1,{\lambda}_{j}\ge 0,\\ \displaystyle \sum _{i=0}^{n+m}{\lambda}_{i}{x}_{i}=x\},x\in {{\mathbb{R}}}^{n},\end{array}\end{eqnarray} bezeichnet man als Simplex-Spline. Simplex-Splines sind stückweise polynomiale Funktionen vom Grad m, welche (m − 1)-fach differenzierbar sind. Da Simplex-Splines zudem den kompakten Träger \begin{eqnarray} supp(S(x|{x}_{0},\mathrm{\ldots}{x}_{n+m})=\overline{conv({x}_{0},\mathrm{\ldots}{x}_{n+m})}\end{eqnarray} besitzen, verallgemeinern sie den klassischen Fall univariater B-Splines.