ein spezieller Funktor mit Werten in der Kategorie der Mengen. Sei Δ die Kategorie mit den Objekten \begin{eqnarray}[n]:=\{1, 2,\mathrm{\ldots},n\},\quad n\in {\mathbb{N}},\end{eqnarray} die durch die natürliche Ordnung der Zahlen geordnet sind. Die Morphismen \(\alpha :[m]\to [n]\) der Kategorie sind die schwach monotonen Abbildungen, d.h. die Abbildungen, für die für i ≤ j gilt: α(i) ≤ α(j). Sei Set die Kategorie der Mengen. Eine simpliziale Menge ist ein kontravarianter Funktor S : Δ → Set. Die simplizialen Mengen bilden selbst eine Kategorie mit den natürlichen Transformationen als Morphismen. Nimmt der Funktor Werte in der Kategorie der topologischen Räume an, so heißt er simplizialer Raum.

In der Kategorie Δ gibt es zwei spezielle Typen von Morphismen:

1. \({\delta}_{i}^{n}:[n-1]\to [n],\) die injektive Abbildung, bei der genau das Element i in [n] als Bild ausgelassen wird
2. \({\varepsilon}_{j}^{n}:[n+1]\to [n],\) die surjektive Abbildung, bei der genau der Wert j in [n] zweimal angenommen wird.

Jeder Morphismus in Δ läßt sich durch Hinterein-anderausführung dieser speziellen Morphismen bilden. Durch die Anwendung des Funktors S der simplizialen Menge erhält man Abbildungen zwischen Mengen \begin{eqnarray}\begin{array}{c}S({\delta}_{i}^{n}):S([n])\to S([n-1]),\\ S({\varepsilon}_{j}^{n}):S([n])\to S([n+1]).\end{array}\end{eqnarray} Die erste Art von Mengenabbildungen heißt Randabbildung, die zweite Art Ausartungsabbildung.

Das Standardbeispiel ist der simpliziale Komplex eines topologischen Raums. Sei \begin{eqnarray}{\Delta}_{n}:=\{({t}_{0},\mathrm{\ldots},{t}_{n})\in {{\mathbb{R}}}^{n+1}|\sum _{i=0}^{n}{t}_{i}=1,{t}_{i}\ge 0\}\end{eqnarray} das von den Einheitsvektoren im \({{\mathbb{R}}}^{n+1}\) aufgespannte Standardsimplex, und sei X ein fester topologischer Raum. Die Zuordnung \begin{eqnarray}[n]\to S({\Delta}_{n}):=\{\text{stetige Abbildungen}\,\,{\Delta}_{n}\to X\}\end{eqnarray} definiert einen kontravarianten Funktor, d. h. eine simpliziale Menge. Die obigen Abbildungen \(S({\delta}_{i}^{n})\) und \(S({\varepsilon}_{j}^{n})\) entsprechen genau den üblichen Rand- und Ausartungsabbildungen \begin{eqnarray}\begin{array}{c}S({\delta}_{i}^{n}):S({\Delta}_{n})\to S({\Delta}_{n-1}),\,Sf({t}_{0},\mathrm{\ldots},{t}_{n-1})=f({t}_{0},\mathrm{\ldots},{t}_{i-1},0,{t}_{i},\mathrm{\ldots},{t}_{n-1}),\\ S({\varepsilon}_{j}^{n}):S({\Delta}_{n})\to S({\Delta}_{n+1}),\,Sf({t}_{0},\mathrm{\ldots},{t}_{n+1})=f({t}_{0},\mathrm{\ldots},{t}_{1}+{t}_{i+1},\mathrm{\ldots},{t}_{n+1}).\end{array}\end{eqnarray}