Darstellung einer projektiven algebraischen Varietät X über dem Körper ℂ in der Form D/Γ mit einem einfach zusammenhängenden Gebiet D ⊆ ℂⁿ und einer Gruppe Γ von analytischen Automorphismen.

Wenn D ein beschränktes Gebiet ist und Γ eine Gruppe von analytischen Automorphismen von D, die eigentlich-diskontinuierlich und frei auf D operiert, und für die der Quotient D/Γ = X kompakt ist, so ist X eine komplexe Mannigfaltigkeit mit amplem kanonischem Bündel, also insbesondere eine projektive algebraische Mannigfaltigkeit.

Die Einbettung in einen projektiven Raum erhält man durch sog. automorphe Formen. Eine automorphe Form vom Gewicht ℓ ist eine analytische Funktion f : D → ℂ, die den Funktionalgleichungen \begin{eqnarray}f(gz)={J}_{g}^{\ell}(z)f(z)\ (g\in {\rm{\Gamma}})\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{J}_{g}(z)=\det \left(\frac{\partial {g}_{\alpha}}{\partial {z}_{\beta}}\right)\end{eqnarray} für g(z) = (g₁(z), …,g_n(z)) genügt. Sie entsprechen den holomorphen n-Formen vom Gewicht ℓ auf X, d.h. den Schnitten von \({({{\rm{\Omega}}}_{X}^{n})}^{\otimes \ell}\), da f (dz₁… dz_n)^ℓ Γ-invariante n-Formen vom Gewicht ℓ auf D sind. Wenn D = ℂⁿ und Γ ein Gitter in ℂⁿ ist, erhält man eine projektive Einbettung von D/Γ durch Thetafunktionen, sofern eine Riemannsche Form existiert.

Die Frage, ob man eine algebraische Varietät auf diese Weise darstellen kann, führt zu der Frage nach der Struktur der universellen Überlagerung \(\tilde{X}\) einer projektiven algebraischen Varietät. Für dimX = 1 ist die Antwort klassisch, man erhält entweder \(\tilde{X}=X={{\mathbb{P}}}^{1}({\mathbb{C}})\) oder \(\tilde{X}={\mathbb{C}}\), X = ℂ/Γ, Γ ein Gitter, oder \(\tilde{X}=D\), D die Einheitskreisscheibe, X = D/Γ. Für dimX > 1 ist die Frage noch weitgehend ungeklärt. Shafarevich hat die Frage aufgeworfen, ob vielleicht die universelle Überlagerung \(\tilde{X}\) einer projektiven algebraischen Varietät immer holomorph konvex als analytischer Raum ist. Dies wird auch häufig als Shafarevich-Vermutung bezeichnet.