Die Antwort auf eine der drängendsten Fragen der Physik könnte aus einem unerwarteten Bereich kommen. Seit etwa 100 Jahren versuchen Fachleute, Quantenphysik und Schwerkraft miteinander zu verbinden – bis jetzt jedoch erfolglos. Dabei mangelte es ihnen nicht an Kreativität: Sie erdachten winzige schwingende Fäden, die durch eine hochdimensionale Raumzeit schwirren, oder sie betrachteten eine schaumartige Substanz, aus der Raum und Zeit bestehen soll.

Das Hauptproblem besteht darin, dass Materie und Raum grundlegend verschieden erscheinen. Der Raum ist laut allgemeiner Relativitätstheorie eine kontinuierliche Größe, während Materie nur in kleinen »Häppchen« auftaucht und den seltsamen Regeln der Quantenphysik unterliegt. Die meisten Bemühungen, eine Weltformel zu finden, drehen sich darum, eine Quantentheorie der Schwerkraft zu entwickeln. In dieser sollte der Raum ebenfalls in kleine Häppchen geteilt sein und quantenphysikalische Eigenschaften besitzen.

Die bisherigen Ansätze einer solchen Quantengravitationstheorie stehen vor enormen Hürden und sind so komplex, dass Fachleute nur sehr langsam Fortschritte machen. Das hat mich dazu veranlasst, das Thema aus einer neuen Perspektive zu betrachten. Ich greife dafür auf ein Konzept aus einem völlig anderen Bereich der Physik zurück, der Materialwissenschaft. Auf den ersten Blick hat dieser nichts mit dem Problem einer Weltformel zu tun, doch der zu Grunde liegende mathematische Formalismus, der die verschiedenen Gebiete miteinander verbinden kann, ist verwandt.

Wie sich herausstellt, bietet die so genannte Phasenfeldtheorie das nötige Werkzeug, um den Raum und die Schwerkraft durch ein quantenphysikalisches Konzept zu vereinen. Eigentlich beschreibt die Phasenfeldtheorie Strukturbildungsprozesse in unserer Welt. Mit ihr gelingt es, den Raum völlig anders als in gängigen Theorien aufzubauen: als Netzwerk aus energetischen Bausteinen, in das sich die Materie harmonisch einfügt. Demnach ist die Vorstellung eines dreidimensionalen, kontinuierlichen Raums eine Illusion. Auch wenn die Quantenphasenfeldtheorie noch in den Kinderschuhen steckt, bietet sie faszinierende neue Erklärungsansätze – von der Kosmologie bis hin zur Teilchenphysik.

Vom Kristallwachstum zu Phasenfeldern

Die Phasenfeldtheorie ist deutlich jünger als die allgemeine Relativitätstheorie oder die Quantenmechanik. Das Wort Phasenfeld tauchte erstmals in handschriftlichen Notizen des theoretischen Physikers James Langer von der University of California in Santa Barbara auf, als er 1978 das instabile Wachstum von Kristallen (Dendriten) beschrieb. Langer wollte herausfinden, inwieweit die chaotisch wirkenden Strukturen geordneten Prozessen unterworfen sind. Aus dieser Forschung entwickelte sich in den kommenden Jahren das eigenständige Gebiet der Phasenfeldtheorie, das sich mit Strukturbildungsprozessen beschäftigt. Weitere Beispiele dafür sind Strömungsmuster bei der Ölförderung oder das Wachstum von Mikroorganismen im Verdauungstrakt von Säugetieren.

Die Bezeichnung Phasenfeld ist allerdings etwas irreführend: Damit ist kein Feld im Sinn eines elektrischen oder magnetischen Felds gemeint; es gibt also keine Feldlinien, die den Raum durchziehen. Stattdessen kann man sich ein Phasenfeld eher wie einen bunten Acker vorstellen, mit mehreren abgegrenzten Bereichen, in denen unterschiedliche Getreidearten angebaut werden. Die Grenzen der Felder können sich mit der Zeit verschieben. Diese Situation beschreibt die Phasenfeldtheorie – nur dass die Felder verschiedenen Materialien oder Materiezuständen entsprechen.

Wenn beispielsweise ein Kristall erstarrt, verlagert sich ständig die Grenze zwischen den flüssigen und festen Phasen. Um das zu modellieren, nutzt die Phasenfeldtheorie die Mathematik nicht linearer Wellen, so genannte Solitonen. Auf diese Weise lassen sich verschiedenste Strukturbildungsprozesse in der Natur beschreiben: in Materialien, im Kosmos und sogar in Gesellschaften oder Staaten.

Seltsam unveränderliche Wellen

Der niederländische Mathematiker Diederik Korteweg (1848–1941) soll bei einem Spaziergang in Amsterdam ein besonderes Wellenphänomen beobachtet haben: Als ein Boot an die Kaimauer einer Gracht schlug, löste es eine einzelne Welle aus, die sich über eine lange Distanz bewegte, ohne sich zu verändern. Sie unterschied sich grundlegend von normalen Wasser- oder Radiowellen, die sich kreisförmig ausbreiten sowie auf- und abschwingen und dabei langsam abklingen.

Auch aus mathematischer Sicht gibt es einen entscheidenden Unterschied zwischen diesen beiden Wellenphänomenen. Gewöhnliche Wellen sind die Lösung linearer Wellengleichungen, das heißt einzelne Wellen überlagern sich, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Die von Korteweg beobachteten solitären Wellen sind hingegen nicht lineare Phänomene – und damit komplizierter. Um seine Beobachtung zu beschreiben, entwickelte Korteweg eine neue, nicht lineare Wellengleichung. Deren Lösung ist ein Wellenpaket, das seine Form stets beibehält, während es sich mit konstanter Geschwindigkeit in eine Richtung bewegt. Man findet solche seltsamen Wellen nicht nur in Grachten, sondern auch an flachen Küsten.

In der Physik erregten Solitonen in den 1960er Jahren viel Aufmerksamkeit. Fachleute versuchten, auf diese Weise den wellenartigen Charakter von Elementarteilchen zu beschreiben, weil die Wellen stabil sind und nicht spontan zerfallen. Die Bemühungen schlugen allerdings fehl.

Dennoch bieten Solitonen eine natürliche Möglichkeit, um Objekte und ihre Wechselwirkungen zu »quantisieren« – sie also als Häppchen zu beschreiben. Genau das ist die Grundlage der Quantenphysik: Viele Größen wie Energie oder Impuls sind nicht kontinuierlich, sondern tauchen gequantelt auf. Hierbei können Solitonen hilfreich sein, da sie durch die Breite des Wellenbergs die Größe der Häppchen vorgeben.

Solitonen in der Phasenfeldtheorie

In der Phasenfeldtheorie greift man auf Solitonen zurück, um die Übergänge zwischen den verschiedenen Feldern zu beschreiben. Wenn ein Soliton ein Gebiet überstreicht, wandelt sich dieses Gebiet in eine andere Phase um. Die Phasen wachsen oder schrumpfen, je nach der Orientierung des Solitons zur Bewegungsrichtung.

Um ein räumlich begrenztes Feld zu beschreiben, kann man ein rechts- und ein linkslaufendes Soliton zu einem so genannten Doublon verbinden – eine Art Box. Dessen Inneres definiert ein endliches Gebiet mit Wert eins, in dem eine bestimmte Phase existiert. Auf diese Weise lassen sich komplexe Situationen wie polykristallines Kristallwachstum untersuchen, das heißt die Entstehung eines Gefüges aus vielen kleinen Einzelkristallen (so genannte Kristallite). Dafür verbindet man die Doublonen (auf drei Raumdimensionen verallgemeinert) zu vielen verschiedenen Phasenfeldern, die jeweils unterschiedliche Kristallite beschreiben.

Eine Raumzeit aus Phasenfeldern

Wie sich herausstellt, könnte die Phasenfeldtheorie auch in einem völlig anderen Bereich hilfreich sein. Mit ihr könnte es gelingen, eine Theorie der Quantengravitation zu formulieren. Auf diese Erkenntnis bin ich gestoßen, als ich eine quantenphysikalische Form von Phasenfeldern untersucht habe.

In der Quantenphasenfeldtheorie (kurz: QPF) entstehen Materie und Raum durch ein Netzwerk aus energetischen Elementen. Materie (in Form von Elementarteilchen) entspricht den Knoten des Netzwerks mit positiver Energie. Die Kanten verbinden je zwei Punkte und besitzen negative Energie. Anders als in der Stringtheorie sind diese eindimensionalen Bindungselemente keine Fäden, die sich irgendwie durch den Raum bewegen – sondern die Fäden selbst sind der Raum.

Die QPF zeichnet sich dadurch aus, dass sich die gegensätzlichen Elemente der klassischen Physik – Teilchen und Raum – durch ein und dasselbe physikalische Feld darstellen lassen, das Quantenphasenfeld.

Um zu diesen Erkenntnissen zu kommen, muss man zunächst die klassische Phasenfeldtheorie quantisieren, also eine quantenphysikalische Version der Theorie entwickeln. In der Materialphysik beschreiben die Doublonen verschiedene Phasen eines Stoffs, etwa eine kristalline und eine flüssige Phase. Möchte man die Theorie aber auf fundamentaler Ebene anwenden, muss man weiter in das System hineinzoomen: Die unterschiedlichen Phasen bestehen dann aus einzelnen Elementarteilchen und dem dazwischen befindlichen Raum. In diesem Fall ist das Phasenfeld, also das Doublon, zwischen zwei Materieteilchen aufgespannt und entspricht dem Vakuum.

Ein Modell unseres Universums

Das gesamte Universum auf diese Weise zu modellieren, benötigt etwas Fantasie – schließlich enthält es Schätzungen zufolge etwa 10⁵⁰ Teilchen (eine 1 gefolgt von 50 Nullen). Die QPF muss daher 10⁵⁰ Teilchen beschreiben, sowie den dazwischen aufgespannten Raum, also die Phasen. Insgesamt gibt es davon mehr als 10¹⁰⁰.

Um damit eine eigenständige Theorie aufzustellen, muss man die Energie der Quantenphasenfelder angeben. Dafür habe ich mich am üblichen Vorgehen in der Materialphysik orientiert, bei dem eine Energiebarriere zwischen den Phasen vorausgesetzt wird. Diese ist nötig, um unterschiedliche Phasen voneinander zu trennen. Diese energetische Funktion wird als entmischendes Potenzial bezeichnet und hat eine hutähnliche Form – wie das Higgs-Potenzial in der Teilchenphysik.

Im Zentrum des Huts ist ein System beispielsweise homogen, alle Phasen haben den gleichen Zustand. An der Krempe nimmt hingegen jeweils nur eine einzige Phase den Wert eins an, während alle anderen null sind. In diesem Fall hat das Gesamtsystem den niedrigsten Energiezustand.

Damit die QPF unsere Welt beschreiben kann, muss man das entmischende Potenzial an unser Universum anpassen. Zum Beispiel, indem man die Höhe des Huts festlegt. Diese entspricht der Masse der Elementarteilchen, genau wie beim Higgs-Mechanismus in der Teilchenphysik.

Erkenntnisse aus der QPF

Aus dieser energetischen Beschreibung des Universums lassen sich entscheidende Erkenntnisse ableiten. Unter anderem ergibt sich aus ihr die stationäre Schrödingergleichung, welche die Energie innerhalb der Doublonen beschreibt (also dem Raum zwischen zwei Elementarteilchen). Löst man diese Gleichung, stellt sich heraus, dass es keinen leeren Raum gibt. Stattdessen wimmelt es im Vakuum vor Teilchen, die immerzu auftauchen und sogleich wieder verschwinden – so wie es auch die Quantenphysik vorhersagt.

Da die Größe eines Doublons begrenzt ist, können sich in diesem Bereich gemäß der Schrödingergleichung nur stehende Wellen bilden. Das führt zu einem Phänomen, das Segler kennen: zwischen parallel ausgerichteten Booten können sich nur Wasserwellen bestimmter Wellenlängen ausprägen, während es im freien Ozean hingegen viel mehr Wellen gibt. Diese schlagen von außen gegen die Boote und drücken sie zusammen, und zwar mit einer Kraft, die proportional zur dritten Potenz ihres Abstands ist.

Dieses Phänomen existiert auch auf Quantenebene und ist als Casimir-Effekt bekannt. Der niederländische Physiker Hendrik Casimir hatte 1948 vorhergesagt, dass sich metallische Platten wegen Quantenfluktuationen anziehen, was später experimentell bestätigt wurde. Der Grund dafür ist derselbe wie bei Booten: Im begrenzten Raum können weniger quantenphysikalische Wellen entstehen. Für zweidimensionale Metallplatten im dreidimensionalen Raum fällt die Kraft mit der vierten Potenz des Abstands der Platten ab.

In der eindimensionalen Doublonenbox zwischen punktförmigen Elementarteilchen hängt die Anziehung hingegen von der zweiten Potenz des Abstands ab – genau wie die Gravitation! Damit ergibt sich in der QPF auch ohne Annahme eines Gravitationspotenzials eine attraktive Kraft zwischen Materie, die sich ähnlich verhält wie die von Newton beschriebene Schwerkraft. Somit bietet der Casimir-Effekt im Doublonennetzwerk die natürliche Vereinigung von Gravitation und Quantenmechanik.

In der QPF finden zudem andere Grundkräfte Platz. Indem man das entmischende Potenzial erweitert und nicht nur neutrale, sondern auch positive und negative Ladungen zulässt, lassen sich die Maxwell-Gleichungen (die elektromagnetische Wechselwirkungen beschreiben) in den Ansatz integrieren.

Untersucht man dann die Schrödingergleichung innerhalb des Doublons etwas genauer, lässt sich eine weitere interessante Tatsache beobachten. Da in der Box nur stehende Wellen auftauchen können, besitzt das Wellenspektrum gewissermaßen Löcher. Diese Wellen kann man in zwei Klassen aufspalten: transversale und longitudinale Wellen. Erstere beschreiben Photonen, während sich letztere – die fehlenden longitudinalen Wellen – als Gravitonen interpretieren lassen, die hypothetischen Austauschteilchen der Schwerkraft. In der QPF sind Gravitonen also keine exotischen neuen Teilchen, sondern ergeben sich allein aus der Quantisierung von endlichen Raumbereichen.

Modifiziertes Gravitationsgesetz

In der Theorie der Quantenphasenfelder existiert nur eine elementare Größe, nur eine Substanz, die der physikalischen Welt zu Grunde liegt: Energie. Daraus lassen sich alle weiteren Eigenschaften und Grundkräfte ableiten. Es gibt jedoch ein fundamentales Problem.

Ein Grundsatz der Physik ist die Energieerhaltung. Ob dieses Prinzip in unserem sich ausdehnenden Universum wirklich erfüllt ist, ist umstritten. So schrieb Sean Caroll, ein führender Gravitationstheoretiker, im Jahr 2010 in seinem Blog: »Kosmologen haben es in den letzten 100 Jahren versäumt, die Welt darüber aufzuklären, dass die allgemeine Relativitätstheorie die Energieerhaltung verletzt.«

Es gibt also zwei Möglichkeiten: Entweder die allgemeine Relativitätstheorie ist falsch oder die Energieerhaltung trifft nicht zu. Caroll scheint an die allgemeine Relativitätstheorie zu glauben. Ich hingegen halte an der Thermodynamik fest, in der Energie erhalten ist.

Damit ergibt sich die wohl größte Stärke – aber auch Schwäche – des QPF-Ansatzes. In dieser Theorie steigt die Energie eines Systems proportional mit der Anzahl der Elementarteilchen. Die negative Energie des Raums zwischen den Teilchen wächst hingegen quadratisch mit ihrer Anzahl an, weil diese paarweise durch Doublonen verbunden sind.

Falls die Teilchenzahl konstant ist und sich das Universum immer weiter ausdehnt, gewinnt die negative Energie irgendwann die Oberhand. Damit die Energie erhalten bleibt, muss eine andere Größe schwanken. Im Rahmen der QPF ist es die Gravitationskonstante G: Ihr Wert hängt vom Abstand der Massen ab.

Insbesondere ist es dann möglich, dass die Gravitationskraft abstoßend wird. Wie sich herausstellt, enthält das Modell zwei charakteristische Längen – eine sehr kurze, mikroskopische und eine sehr große, kosmologische –, bei denen sich Massen abstoßen. In den Bereichen zwischen diesen beiden Längen gilt das newtonsche Gravitationsgesetz mit dem bekannten Wert von G als Konstante.

Abgleich mit Beobachtungen

Ob die Energieerhaltung richtig ist oder die allgemeine Relativitätstheorie, werden experimentelle Überprüfungen entscheiden. Doch schon jetzt lässt sich die Quantenphasenfeldtheorie mit kosmologischen Beobachtungen abgleichen. Dafür muss man sie mit konkreten Werten füllen. Indem man die Masse des sichtbaren Universums nutzt, lassen sich beispielsweise die charakteristischen Längen bestimmen, bei denen die Gravitationskonstante G abstoßend wird.

Zwar ist die genaue Masse des Universums nicht exakt bestimmbar, aber es gibt plausible Abschätzungen. Zusammen mit dem auf der Erde gemessenen Wert von G lässt sich daraus die mikroskopische Länge zu 3·10^-53 Meter berechnen – das ist unterhalb der kleinstmöglichen, so genannten Plancklänge, und somit nicht beobachtbar. Für die kosmologische Länge ergibt sich hingegen 7·10²⁴ Meter, etwa 240 Megaparsec. Letztere Länge stimmt erstaunlich gut mit der Ausdehnung großer »Voids« überein. Das sind Gebiete im Universum, die praktisch ohne Materie sind. Damit würde die QPF offenbaren, wie es zu diesen leeren Bereichen kam: Massen an den Rändern der Voids stoßen sich ab, wodurch keine Materie in diese Regionen eindringen kann. Zudem erklärt die abstoßende Gravitation auf diesen Skalen die beobachtete Expansion des Universums – und das, ohne Dunkle Energie zu benötigen. Es lassen sich aber auch andere Größen abschätzen. Betrachtet man beispielsweise ein einzelnes Proton als Ring aus drei Doublonen (mit drei Quarks), lässt sich sein Durchmesser zu 10^-16 Meter bestimmen, was um nur eine Größenordnung von der in Experimenten gemessenen Ausdehnung abweicht.

Und auch die Größe eines Solitons lässt sich grob berechnen, sie entspricht 10^-55 Meter – und ist damit deutlich kleiner als die Plancklänge. Da das Soliton den Übergang zwischen zwei Doublonen markiert, ist das die Ausdehnung quasipunktförmiger Elementarteilchen. Sie liegt wiederum zwei Größenordnungen unterhalb der mikroskopischen Länge, bei der die Gravitation abstoßend ist. Einzelne Teilchen stoßen sich daher gravitativ ab, wenn sie sich sehr nahekommen.

Natürlich dürfen in keinem Aufsatz zur Weltformel Schwarze Löcher fehlen. Diese enthalten gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie eine »Singularität«: einen Bereich, in dem die Raumzeit unendlich stark gekrümmt ist. Im Rahmen der QPF ist eine solche Singularität hingegen ausgeschlossen. Quetscht man Teilchen immer weiter zusammen, wird die Schwerkraft irgendwann abstoßend, was eine weitere Kompression verhindert. Bisher ist es allerdings noch nicht möglich, Schwarze Löcher im Rahmen der QPF genauer zu untersuchen, um beispielsweise herauszufinden, was passiert, wenn die galaktischen Ungetümer einfallende Masse verschlucken.

Die Quantenphasenfeldtheorie ist ein viel versprechender Ansatz, um das Universum und die darin enthaltene Materie zu beschreiben. Doch es gibt noch viel Arbeit. Neben Schwarzen Löchern oder den kosmologischen Folgen der allgemeinen Relativitätstheorie müssen auch die Kernkräfte in die Theorie eingebunden werden.

Aber ein erster Schritt, und vielleicht der wichtigste Schritt hin zu einer »Theorie von Allem«, wäre mit der Vereinheitlichung von Gravitation und Quantentheorie geschafft – wenn die Theorie weitere Tests besteht.