Hemmes mathematische Rätsel: Hat jede der Gleichungen wenigstens eine ganzzahlige Lösung?
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Die fünf Zahlen –6, –2, 1, 3 und 4 lassen sich auf 5! = 120 verschiedene Weisen in die fünf Klammern der Gleichung vierten Grades
( )x4 + ( )x3 + ( )x2 + ( )x + ( ) = 0
setzen. Beweisen Sie, dass jede dieser Gleichungen wenigstens eine ganzzahlige Lösung hat, oder finden Sie ein Gegenbeispiel.
Für x = 1 vereinfacht sich die Gleichung ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 zu a + b + c + d + e = 0. Das bedeutet umgekehrt, ist die Summe der Koeffizienten a + b + c + d + e = 0, ist x = 1 eine Lösung der Gleichung ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0. Da die Summe der Koeffizienten –6 + (–2) + 1 + 3 + 4 = 0 ergibt, ist 1 immer eine Lösung der Gleichung ( )x4 + ( )x3 + ( )x2 + ( )x + ( ) = 0, unabhängig davon, wie die fünf Zahlen in die Klammern verteilt werden.
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