Hemmes mathematische Rätsel: Tennisball
Auf der Oberfläche eines jeden Tennisballes gibt es einen etwa zwei Millimeter breiten Streifen, wo die Oberfläche glatt ist. Dieser Streifen ist eine geschlossene Kurve, die sich über den ganzen Ball schlingt. Sie setzt sich aus vier gleichen Halbkreisen zusammen, und zwar so, dass die Flächen von sich gegenüberliegenden Halbkreisen jeweils parallel zueinander liegen und benachbarte Halbkreise senkrecht aufeinander stehen. Tennisbälle haben einen Durchmesser von 65 Millimetern.
Vor ungefähr 25 Jahren fragte ich mich: Wie lang ist die Linie?
Da benachbarte Halbkreise senkrecht aufeinander stehen und sich gegenüberliegende parallel zueinander liegen, müssen die vier Punkte, an denen die Halbkreise aneinanderstoßen, die Ecken eines Quadrats sein. Dieses Quadrat liegt im Inneren des Balles, nur seine Ecken sitzen auf der Oberfläche. Wegen der Symmetrie muss der Mittelpunkt des Quadrates mit dem Mittelpunkt des Balles zusammenfallen.
Schneidet man den Ball in der Ebene des Quadrates durch, erhält man als Schnittfläche einen Kreis mit einem eingeschriebenen Quadrat. Der Durchmesser D des Balles ist auch der des Kreises und somit die Diagonale des Quadrates. Mit dem Satz von Pythagoras lässt sich die Seitenlänge d des Quadrates, die auch gleichzeitig Durchmesser der Halbkreise ist, zu d = D√√2 bestimmen. Da ein Kreisumfang das π-fache seines Durchmessers ist, beträgt die Gesamtlänge L der vier Halbkreise das 2π-fache der Quadratseite: L = 2πd = 2πD/√2 ≈ 28,9 cm.
Die Linie auf den Tennisbällen ist also ungefähr 28,9 cm lang.
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