Hemmes mathematische Rätsel: Welche Zahl ist gesucht?
Stapelt man lauter gleich große Kugeln zu Tetraedern, also zu Pyramiden mit gleichseitigen Dreiecken als Grundflächen, so nennt man die Anzahl der Kugeln, die man zum Bau solcher Pyramiden benötigt, Tetraederzahlen. Das kleinste dieser Tetraeder hat eine Kantenlänge von einer Kugel und besteht auch nur aus einer einzigen Kugel. Für den Bau eines Tetraeders mit der Kantenlänge zwei benötigt man vier Kugeln, für eines der Kantenlänge drei bereits zehn Kugeln und für eines der Kantenlänge vier sogar schon 20 Kugeln. Die vier kleinsten Tetraederzahlen sind folglich 1, 4, 10 und 20.
Pyramidenzahlen sind schon seit der Antike bekannt. Speusippus von Athen (circa 410–circa 340 v. Chr.) kannte schon den Begriff der Tetraederzahl, und Theon von Smyrna (circa 70–circa 135) definiert die Pyramidenzahlen allgemein. Der 1979 in Elmshorn geborene Mathematik- und Religionslehrer Helge Wilms arbeitet am Ludwig-Meyn-Gymnasium in Uetersen in Schleswig-Holstein. Anfang 2024 stellte er den Schülerinnen und Schülern seiner Mathematik-Arbeitsgemeinschaften die Aufgabe, die 22. Tetraederzahl zu bestimmen. Dies ist auch die heutige Kopfnuss.
Die Kugeln in jeder Schicht des Tetraeders sind zu einem gleichseitigen Dreieck angeordnet. Verdoppeln wir die Anordnung und legen sie auf dem Kopf stehend neben die ursprüngliche, erhalten wir ein Kugelparallelogramm. Nun sieht man direkt, dass in der n-ten Schicht des Tetraeders Dn = n(n + 1)/2 Kugeln liegen. Die Anzahlen der Kugeln jeder Schicht heißen Dreieckszahlen Dn.
Besteht das Tetraeder aus n Schichten, ist es aus Tn = D1 + D2 + D3 + … + Dn Kugeln aufgebaut. Man kann nun die Werte von D1 bis D22 berechnen und zu dem gesuchten Wert T22 zusammenzählen. Es ist aber auch nicht besonders schwierig, eine allgemeine Formel für Tn zu entwickeln. Dazu erstellen wir eine Tabelle mit den ersten Werten von Dn und Tn.
n 1 2 3 4 5 6 7 …
Dn 1 3 6 10 15 21 28 …
Tn 1 4 10 20 35 56 84 …
Bildet man den Quotienten 3Tn/Dn, erhält man für jedes n dieser Tabelle den Wert n + 2. Dass dies auch allgemein gültig ist, lässt sich durch eine vollständige Induktion leicht beweisen. Somit gilt 3Tn/Dn = n + 2 oder Tn = Dn(n + 2)/3. Ersetzt man noch Dn durch den zuvor gefundenen Ausdruck, bekommt man Tn = n(n + 1)(n + 2)/6. Daraus ergibt sich mit T22 = 22 · 23 · 24 / 6 = 2024, die aktuelle Jahreszahl.
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