Hemmes mathematische Rätsel: Welcher Wert ist gesucht?
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Wie groß ist der kleinste Wert, den der Bruch \( B=(p^2+p+1)(q^2+q+1)(r^2+r+1)(s^2+s+1)/pqrs \) haben kann, wenn p, q, r und s positive reelle Zahlen sind?
Der Bruch kann zu \( B=(p+1+1/p)(q+1+1/q)(r+1+1/r)(s+1+1/s) \) umgeformt werden. Um die Summe f des ersten Faktors p + 1 + 1/p zu berechnen, ersetzen wir p durch x + 1. Da p > 0 ist, muss x > –1 sein.
\( f=(x+1)+1+1/(x+1)=2+ (x(x+1)+1)/(x+1) \)
\( =2+ (x^2+x+1)/(x+1)= 2+(x+1)/(x+1)+x^2/(x+1)=3+x^2/(x+1) \)
Der Term x2/(x + 1) ist positiv. Folglich ist f ≥ 3. Die gleichen Überlegungen gelten auch für die anderen drei Faktoren von B. Folglich ist der gesamte Bruch B ≥ 34 oder B ≥ 81. Das Minimum von 81 wird erreicht, wenn p = q = r = s = 1 ist.
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