Hemmes mathematische Rätsel: Welcher Wert ist gesucht?
Der United Kingdom Mathematics Trust (UKMT) ist eine Organisation, die die Mathematikausbildung britischer Kinder unterstützt. Der UKMT wurde 1996 gegründet und organisiert eine Reihe von Mathematikwettbewerben. Einige davon sind die »Junior Mathematical Challenge«, die »Intermediate Mathematical Challenge«, die »Senior Mathematical Challenge«, der Känguru-Wettbewerb und die »British Mathematical Olympiad«. Die meisten dieser Wettbewerbe gab es schon vor 1996, aber durch den UKMT wurde es möglich, sie zentral zu organisieren. 2018 gab der UKMT die Aufgabensammlung »The Ultimate Mathematical Challenge« heraus. Die heutige Kopfnuss ist eine der mehreren hundert Aufgaben dieses Buches und wurde ursprünglich 2011 auf dem Wettbewerb »Grey Kangaroo« gestellt. Dieser Wettbewerb wird für neun- und zehnjährige Kinder ausgerichtet. Ich habe die Aufgabe für diese Kolumne ein wenig verändert.
In dem alphametischen Bruch steht jeder Buchstabe für eine Ziffer. Gleiche Buchstaben stehen für gleiche Ziffern, verschiedene Buchstaben für verschiedene Ziffern, und die 0 kommt nicht vor. Wie groß ist der kleinste ganzzahlige Wert, den der Bruch haben kann?
Der Bruch lässt sich zu (Z · A · H · L)/N3 kürzen. Der kleinste ganzzahlige Wert, den der Bruch haben könnte, ist 1. Damit er erreicht werden kann, müssen im Zähler und im Nenner die gleichen Primfaktoren vorkommen. Die 1 als Sonderfall und neutraler Faktor darf auch im Zähler auftreten. Zerlegt man die Ziffern von 2 bis 9 in ihre Primfaktoren, erhält man 2, 3, 4 = 22, 5, 6 = 2 · 3, 7, 8 = 23 und 9 = 32. Nur die Primfaktoren 2 und 3 treten mehrfach auf. Daraus ergibt sich der Bruch (23 · 33)/(2 · 3)3 = 1, was man zu (1 · 3 · 8 · 9)/63 = 1 und (2 · 3 · 4 · 9)/63 = 1 ausmultiplizieren kann. Für die zuvor gekürzten Buchstaben E und R gibt es nun eine ganze Reihe von Möglichkeiten. Das Bild zeigt ein Beispiel.
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