Hemmes mathematische Rätsel: Wie groß ist der Faktor x?
Der 1944 geborene Schweizer Mathematiker Hans Walser hat viele Jahrzehnte lang als Lehrer an Gymnasien und als Lehrbeauftragter an Universitäten unterrichtet. Er hat eine große Zahl von Aufsätzen für Fachzeitschriften und auch etwa ein Dutzend Bücher verfasst. Sein neuestes Werk aus dem Jahr 2018 heißt »Der Würfel: Ansichten – Dimensionen&nbp;– Modelle«. Das heutige Rätsel schickte er mir im Juni 2020 zu.
Die nach innen gewickelte rote Spirale besteht aus unendlich vielen gleichseitigen Dreiecken, deren Seitenlängen jeweils um denselben Faktor x kleiner sind als die ihres Vorgängers. Die grüne Spirale ist deckungsgleich mit der roten. Sie ist nur um 180° gedreht und ein Stückchen verschoben. Die Dreiecke der beiden Spiralen berühren sich so, wie es das Bild zeigt.
Wie groß ist der Faktor x?
Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist das 1⁄2√3-fache seiner Seitenlänge. Somit hat die blaue Linie, wenn man sie mit den roten Dreiecken beschreibt, die Länge 1⁄2√3 · (x + x2) und, wenn man sie mit den grünen Dreiecken beschreibt, die Länge 1⁄2√3 · (x3 + x4 + x5 + x6).
Die Längen sind natürlich gleich, und darum gilt x + x2 = x3 + x4 + x5 + x6 oder x(1 + x) = x(x2 + x3 + x4 + x5).
Die Lösung x = 0 ist für das Problem nicht relevant. Somit vereinfacht sich die Gleichung zu 1 + x = x2 + x3 + x4 + x5 oder 1 + x = (1 + x)(x2 + x4).
Auch die Lösung x = –1 scheidet für dieses Problem aus, so dass nur 1 = x2 + x4 bleibt.
Diese biquadratische Gleichung hat positive Lösung x2 = 2/(√5 + 1). Dies ist der Kehrwert des berühmten Goldenen Schnitts Φ, einem Streckenverhältnis, das seit der Antike in der Kunst und in der Architektur verwendet und als besonders ästhetisch empfunden wird. Somit ist x = 1/√Φ ≈ 0,7862.
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