Hemmes mathematische Rätsel: Wie müssen die Zahlen zugeordnet werden?
Frank Rehm wurde 1953 in Freiberg in Sachsen geboren und lebt heute in Leipzig. Er studierte an der Lomonossow-Universität in Moskau Mathematik. Sein Studium schloss er 1976 ab, und seitdem arbeitet er als Informatiker. Schon seit seiner Jugend löst und entwirft Frank Rehm mathematische Denksportaufgaben. Er arbeitet mit bei der Leipziger Schülergesellschaft der Mathematiker, bei Mathematikolympiaden, bei der Leipziger »Inspirata«, bei der Jenaer »Imaginata« und bei der mathematischen Schülerzeitschrift »Monoid« der Universität Mainz. Im September 2024 schickte er mir eine seiner hübschen, selbst entworfenen Knobeleien.
Verteilen Sie die Zahlen von 0 bis 9 so auf die zehn Kreise, dass jede Zahl in den drei oberen Reihen die Endziffer der Summe der beiden direkt darunter stehenden Zahlen ist. Stünden also beispielsweise in den beiden ersten Kreisen der untersten Reihe die Zahlen 7 und 5, die die Summe 7 + 5 = 12 haben, müsste im ersten Kreis der vorletzten Reihe die Zahl 2 stehen.
Das Symbol ≡ bedeutet, dass die Ausdrücke links und rechts davon die gleiche Endziffer haben. Damit lassen sich die Beziehungen in dem Zahlendreieck darstellen durch A ≡ B + C, B ≡ D + E, C ≡ E + F, D ≡ G + H, E ≡ H + I und F ≡ I + J.
Stünde die 0 in einer der drei unteren Zeilen, würde sie zu einer danebenstehenden Zahl X addiert werden und als darüberstehende Zahl wieder X ergeben. Das ist aber nicht erlaubt. Deshalb muss A = 0 sein, und es gilt B + C ≡ 0. Addiert man die sechs Beziehungen, erhält man A + B + C + D + E + F ≡ (B + C) + (D + E) + (E + F) + (G + H) + (H + I) + (I + J), was man zu D + F + 2E ≡ 0 zusammenfassen kann. Ersetzt man nun D durch G + H und F durch I + J und danach H + I durch E, erhält man erst G + H + I + J + 2E ≡ 0 und anschließend G + H + 3E ≡ 0. Außerdem gilt A + B + … + J = 45. Mit A = 0 und B + C ≡ 0 wird daraus D + E + F + G + H + I + J ≡ 5 oder (D + F + 2E) + (G + H + I + J + 2E) – 3E ≡ 5. Dies kann man mit den obigen Beziehungen zu –3E ≡ 5 oder E = 5 vereinfachen. Daraus folgen H + I ≡ 5, G + J ≡ 5, D + F ≡ 0. Der Rest ist einfach, und man bekommt acht Lösungen. Vier Lösungen zeigt das Bild, die anderen vier sind die Spiegelbilder hiervon.
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