e

Eulersche Zahl, Napier-Zahl, die Zahl

\begin{eqnarray}e=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!},\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}e=2.718\,281\,828\,459\,045\,235\,360\,287\,\ldots, \end{eqnarray}

\begin{eqnarray}n\,\mathrm{ln}\,\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)=\frac{\mathrm{ln}\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)-\mathrm{ln}1}{\displaystyle\frac{1}{n}}\\ \to \mathrm{ln}^{\prime}\,1=1\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}{\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)}^{n}=\exp \left(n\,\mathrm{ln}\,\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)\right)\\ \to \exp (1)=e.\end{eqnarray}

Dieser Grenzwert hat seinen Ursprung im Problem der stetigen Verzinsung. Legt man ein Kapital von K = 1 zu einem Jahreszinssatz von 100 Prozent für ein Jahr an, so erhält man bei n-facher unterjähriger Verzinsung nach einem Jahr ein Kapital von \({(1\,+\,\frac{1}{n})}^{n}\). Im Grenzfall der stetigen Verzinsung, der beispielsweise auch bei bestimmten biologischen Wachstumsvorgängen eine Rolle spielt, läßt man dann n gegen Unendlich gehen und erhält den Grenzwert e.

Für alle natürlichen Zahlen n gilt darüber hinaus die Einschließung

\begin{eqnarray}{\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)}^{n}\lt e \lt {\left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)}^{n+1}.\end{eqnarray}

Von Euler stammt der regelmäßige Kettenbruch

\begin{eqnarray}e=[2;\,\,1,2,1,\,\,1,4,1,\,1,6,1\,\ldots ],\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{3}{1},\,\displaystyle\frac{8}{3},\,\displaystyle\frac{11}{4},\,\displaystyle\frac{19}{7},\,\displaystyle\frac{87}{32},\,\displaystyle\frac{106}{39},\,\displaystyle\frac{193}{71},\,\ldots \end{eqnarray}

\begin{eqnarray}e=2+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{2+\displaystyle\frac{2}{3+\displaystyle\frac{3}{4+\displaystyle\frac{4}{5+\ldots }}}}}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\displaystyle\frac{1}{e}=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\displaystyle\frac{{(-1)}^{n}}{n!}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\displaystyle \underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{dx}{x}=1,\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\to e\quad(n\to \infty ).\end{eqnarray}

Bei praktischen physikalischen Anwendungen spielt die Eulersche Zahl eine große Rolle. So wird zum Beispiel die Geschwindigkeit des radioaktiven Zerfalls durch die sogenannte Zerfallskonstante λ > 0 angegeben. Ist dann n₀ die Anzahl der Atomkerne zum Zeitpunt t = 0 und n(t) die Anzahl der Kerne zum Zeitpunkt t, so wird n(t) mit Hilfe der Eulerschen Zahl berechnet aus

\begin{eqnarray}n(t)={n}_{0}\cdot {e}^{-\lambda t}.\end{eqnarray}

Während die Irrationalität von e leicht zu zeigen ist und schon 1737 von Euler aus dem Nicht-Abbrechen der regelmäßigen Kettenbruchentwicklung von e geschlossen wurde, konnte die Transzendenz von e erst 1873 von Charles Hermite bewiesen werden.