eine der im zahlentheoretischen Sinne markantesten Eigenschaften der Zahl e.

Die Irrationalität wurde 1737 von Leonhard Euler erkannt, da die regelmäßige Kettenbruchentwicklung von e nicht abbricht. Sie kann aber auch wie folgt elementar bewiesen werden:

Für natürliche Zahlen N gilt N! e = A_N + B_N mit \begin{eqnarray}{A}_{N}=\mathop{\sum ^{N}}\limits_{n=0}\frac{N!}{n!},\qquad{B}_{N}=\mathop{\sum ^{\infty }}\limits_{n=N+1}\frac{N!}{n!},\end{eqnarray} wobei A_N ganz ist, aber B_N und damit N! e wegen \begin{eqnarray}0\lt {B}_{N}\lt \frac{1}{N+1}\mathop{\sum ^{\infty }}\limits_{n=0}{\left(\frac{1}{N+2}\right)}^{n}=\frac{N+2}{{(N+1)}_{2}}\lt 1\end{eqnarray} für kein N ganz sein kann.