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Lexikon der Mathematik: Irrationalität von π und π2

eine der im zahlentheoretischen Sinne markantesten Eigenschaften der Zahl π.

Die Irrationalität von π selbst wurde schon von Aristoteles behauptet, aber erst 1761 von Johann Heinrich Lambert bewiesen, indem er mittels einer Kettenbruchdarstellung der Tangensfunktion zeigte, daß tan x für alle rationalen x ≠ 0 irrational ist, und x = π4 setzte. 1794 zeigte Adrien-Marie Legendre auch die Irrationalität von π2 und vermutete die Transzendenz von π.

1947 veröffentlichte Ivan Niven einen elementaren Beweis für die Irrationalität von π : Wäre π = ab mit natürlichen Zahlen a und b, so nähmen für n ∈ ℕ das Polynom f(x)=1n!xn(abx)n und seine Ableitungen f′(x),…,f(2n)(x) für x ∈ {0, π} ganzzahlige Werte an. Mit F(x):=nv=0(1)vf(2v)(x) wäre daher π0f(x)sinxdx=[F(x)sinxF(x)cosx]0π=F(π)+F(0) ganzzahlig. Wegen 0<f(x)sinx<1n!πnan für 0 < x< π ist das Integral aber positiv und wird für hinreichend große n beliebig klein.

Ähnlich ist auch die Irrationalität von π2 zu zeigen. Es ist aber beispielsweise nicht bekannt, ob ln π rational oder irrational ist.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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