Lexikon der Mathematik: Längenverzerrung
eine Invariante von Abbildungen f : ℱ → ℱ∗ zweier Flächen ℱ, ℱ∗ ⊂ ℝ3.
Die Längenverzerrung von f in einem Punkt x ∈ ℱ ist die Funktion λ, die jedem Tangentialvektor 𝔱 ∈ Tx(ℱ) das Verhältnis seiner Länge zur Länge seines Bildvektors f∗(𝔱) in der Tangentialebene Tf(x)(ℱ) zuordnet.
Wir setzen voraus, daß f lokal umkehrbar ist. Sind Φ(u1, u2) und \({\Phi }^{* }({u}_{1}^{* },{u}_{2}^{* })\) Parameterdarstellungen von ℱ bzw. ℱ∗, die auf den Gebieten U bzw U∗ des ℝ2 definiert sind, so existiert lokal eine Abbildung f̃ : U → U∗ mit f о Φ = Φ∗ о f̃. Die durch
gegebenen Funktionen \({u}_{1}^{* }\) und \({u}_{2}^{* }\) heißen Koordinatendarstellung von f.
Dann sind die Koeffizienten \({\bar{g}}_{ij}^{* }\) der ersten Gaußschen Fundamentalform von ℱ∗ in der Parameterdarstellung f о Φ von ℱ∗ durch
gegeben, und es besteht der folgende Zusammenhang zwischen den \({\bar{g}}_{ij}^{* }\) und den Koeffizienten \({g}_{ij}^{* }\) der ersten Fundamentalform von ℱ∗ in der ursprünglichen Parameterdarstellung Φ∗:
Sind (t1, t2) die Koeffizienten von 𝔱, so gilt
Betrachtet man λ als Funktion auf der Menge Sx der Tangentialvektoren 𝔱 der Länge 1 im Punkt x, so ist λ2(𝔱) entweder konstant, oder hat zwei positive Extremwerte \({\lambda }_{1}^{2}\) und \({\lambda }_{2}^{2}\). Diese heißen Hauptverzerrungen von f im Punkt x. Sie sind Lösungen der Gleichung
mit \(\bar{g}=\det ({\bar{g}}_{ij}^{* })\) und g = det (gij).
Die Vektoren 𝔱1 und 𝔱2 von Sx, in denen λ2 diese Extremwerte annimmt, stehen aufeinander senkrecht. Die durch sie bestimmten Richtungen heißen Hauptverzerrungsrichtungen.
[1] Klotzek, B.: Einführung in die Differentialgeometrie. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1981.
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