Verhalten der einem Mehrschrittverfahren zugeordneten Differenzengleichung zur näherungsweisen Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung.

Die für Einschrittverfahren entwickelten Stabilitätsbegriffe (Stabilitätseigenschaften von Einschrittverfahren) finden für Mehrschrittverfahren verschiedene Formen der Verallgemeinerung. Entscheidend ist die Betrachtung der einem allgemeinen m-stufigen Mehrschrittverfahren \begin{eqnarray}\sum _{j=0}^{m}{a}_{j}{y}_{s+j}=h\sum _{j=0}^{m}{b}_{j}f({x}_{s+j},{y}_{s+j})\end{eqnarray} zugeordneten charakteristischen Polynome \begin{eqnarray}\phi (z)=\sum _{j=0}^{m}{a}_{j}{z}^{j}\ \ \text{und}\ \ \ \psi (z)=j=\sum _{j=0}^{m}{b}_{j}{z}^{j}.\end{eqnarray} Zunächst ist für die Konvergenz die sogenannte Nullstabilität notwendig, die besagt, daß die Nullstellen ξ von ψ betragsmäßig kleiner oder gleich 1 sein müssen, wobei Gleichheit nicht für mehrfache Nullstellen erfüllt sein darf.

Der einem Einschrittverfahren unmittelbar äquivalente Begriff der absoluten Stabilität ergibt sich durch Betrachtung des Modellproblems \begin{eqnarray}{y}^{\prime}(x)=\lambda y(x),\,\,\,\,y(0)=1\end{eqnarray} und der charakteristischen Gleichung \begin{eqnarray}x(z)=\phi (z)-h\lambda \psi (z)=0.\end{eqnarray} Es bezeichnet dann die Menge \begin{eqnarray}B:=\{\mu =h\lambda \in {\mathbb{C}}|x(z)=0\wedge |z|\lt 1\}\end{eqnarray} das Gebiet der absoluten Stabilität.

Als Stabilitätsbedingung folgt daraus, daß für Re(λ) < 0 die Schrittweite h stets die Bedingung hλ ∈ B erfüllen muß, damit garantiert ist, daß für abklingende Lösungen auch die Approximationen abklingen. Umfaßt für ein Mehrschrittverfahren die Menge B die gesamte linke komplexe Halbebene, so heißt das Verfahren insgesamt absolut stabil.