Einfache mathematische Konzepte wie das Zählen scheinen in der natürlichen Denkstruktur fest verankert. Wie Studien belegen, verfügen offenbar selbst sehr junge Kinder und Tiere in beschränktem Maß über solche Fähigkeiten. Das ist nicht überraschend, denn das Zählen ist evolutionär gesehen äußerst nützlich – zum Beispiel hilft es abzuschätzen, ob eine verfeindete Gruppe größer als die eigene ist und ob sich ein Angriff oder eher ein Rückzug lohnt.

In den letzten Jahrtausenden hat die Menschheit diese Konzepte auf bemerkenswerte Weise weiterentwickelt: Beginnend mit dem Umgang mit einer Hand voll Objekten stellte man fest, dass sich die Methodik problemlos auf völlig andere Größenordnungen anwenden lässt. Schon bald entstand ein mathematisches Gerüst, mit dem man sowohl riesige Größen wie die Entfernung von Galaxien oder die Anzahl der Elementarteilchen im Universum beschreiben kann, als auch die kaum fassbaren Distanzen im Mikrokosmos, von Atomen bis hin zu Quarks.

Wir können sogar mit Zahlen hantieren, die alles übersteigen, was nach heutigem Wissen für die Beschreibung des Universums relevant ist: So lässt sich problemlos \(10^{10^{100}}\) (eine Eins gefolgt von 10¹⁰⁰ Nullen, wobei 10¹⁰⁰ einhundert Nullen hat) niederschreiben und allerlei Rechnungen damit durchführen. Würde man sie allerdings in der üblichen Dezimalschreibweise darstellen, bräuchte man dafür mehr Elementarteilchen als vermutlich im Universum existieren, selbst wenn man pro Ziffer nur ein Partikel verwendet. Denn Physiker schätzen, dass unser Kosmos weniger als 10¹⁰⁰ Teilchen enthält.

Aber selbst solche unvorstellbar großen Zahlen sind verschwindend gering verglichen mit unendlichen Mengen, die seit mehr als 100 Jahren einen wesentlichen Teil der Mathematik ausmachen. Mit dem einfachen Zählen von Ob­jekten entsteht die Menge der natürlichen Zahlen, die vielen in der Schule begegnet. Doch bereits dieses vermeintlich simple Konzept scheint problematisch: Es gibt keine größte natürliche Zahl, man kann stets weiterzählen und ein größeres Element finden.

Können unendliche Mengen überhaupt existieren? …