Wir nehmen einmal an, AB und BC seien zwei benachbarte, aber verschieden lange Seiten des Zwölfecks. Da die Bögen über allen sechs langen und sechs kurzen Seiten zusammen einen Vollkreis bilden, muss der Bogen über eine lange und eine kurze Seite gerade einen Sechstelkreis ergeben. Der Winkel AMC beträgt folglich 360°/6 = 60°. Daraus ergibt sich, das Dreieck AMC muss gleichseitig sein, und die Strecke AC hat die Länge des Kreisradius.

Bezeichnen wir den Winkel AMB mit α, betragen von dem gleichschenkligen Dreiecks AMB die beiden anderen Winkel MAB = MBA = ¹⁄₂(180° − α) = 90° − ¹⁄₂α. Der Winkel BMC muss 60° − α sein, und folglich haben in dem Dreieck BMC die beiden anderen Winkel die Werte MBC = MCB = ¹⁄₂(180° − (60° − α)) = 60° + ¹⁄₂α. Da der Winkel ABC sich aus den Winkeln MBA und MBC zusammensetzt, beträgt er ABC = MBA + MBC = 90° − ¹⁄₂α + 60° + ¹⁄₂α = 150°. Zum Schluss wendet man auf das Dreieck ABC den Kosinussatz an: (AC)² = (AB)² + (BC)² − 2 · AB · BC · cos150°. Setzt man die Werte ein, erhält man (AC)² = (√2)² + (√24)² + 2 · √2 · √24 · ¹⁄₂√3 = 38. Der Radius des Kreises beträgt also, unabhängig von der Reihenfolge der kurzen und langen Seiten, r = √38 ≈ 6,164.

Der Kosinussatz, den ich hier verwendet habe, ist leider aus den Lehrplänen vieler Schulen verschwunden, dabei ist er sehr nützlich. Er besagt, dass für ein beliebiges Dreieck mit den Innenwinkeln α, β und γ und den den Winkeln gegenüberliegenden Seiten a, b und c stets c² = a² + b² − 2ab cos γ gilt.