Hemmes mathematische Rätsel: Wie alt ist Max?
![Ganz viele bunte Ziffern, die kreuz und quer angeordnet sind Ganz viele bunte Ziffern, die kreuz und quer angeordnet sind](https://static.spektrum.de/fm/912/f2000x857/iStock-1487122335.jpg)
Presh Talwalkar hat Mathematik und Wirtschaftswissenschaften an der Stanford University in Kalifornien in den USA studiert. Er hat einige Bücher über mathematische Knobeleien geschrieben, darunter das im Jahr 2015 erschienene dreibändige Werk »Math Puzzles«. Talwalkar betreibt auch im Internet seit 2007 den Denksport-Blog »Mind Your Decisions«. Am 22. März 2024 stellte er seinen Leserinnen und Lesern auf seiner Seite ein Altersproblem, das er auf der Internetseite www.algebra.com für Hausaufgabenhilfe entdeckt hatte und das dort die Frage Nummer 1134437 ist.
Max und Moritz haben beide ein ganzzahliges Alter in Jahren. Max’ heutiges Alter ist die Summe der beiden Ziffern von Moritz’ heutigem Alter. In fünf Jahren wird Max’ Alter das Produkt der beiden Ziffern von Moritz’ Alter sein, das dieser in fünf Jahren haben wird. Wie alt ist Max heute?
Sind z und e die Zehner- und die Einerziffer von Moritz’ heutigem Alter in fünf Jahren, ist er 10z + e Jahre alt. Da Max’ heutiges Alter die Summe der beiden Ziffern von Moritz’ heutigem Alter sein soll, ist Max heute z + e Jahre alt und wird in fünf Jahren z + e + 5 Jahre alt sein. Jetzt müssen wir zwei Fälle unterscheiden: Entweder ist e ≤ 4, oder es ist e > 4. Im ersten Fall wird Moritz in fünf Jahren 10z + e + 5 Jahre alt sein. Im zweiten Fall wird er in fünf Jahren, da es einen Übertrag von der Einer- auf die Zehnerstelle gibt, 10(z + 1) + e – 5 Jahre alt sein. Weil Max’ Alter in fünf Jahren das Produkt der beiden Ziffern von Moritz’ Alter in fünf Jahren ist, kann man Max’ Alter in fünf Jahren im ersten Fall auch als z(e + 5) schreiben. Setzt man die beiden Ausdrücke für Max’ Alter gleich, erhält man z + e + 5 = z(e + 5), was man zu z = (e + 5)/(e + 4) umformen kann. Da die rechte Seite der Gleichung für keinen Wert von e einen ganzzahligen Wert für z ergibt, kann e nicht kleiner als oder gleich 4 sein. Im zweiten Fall kann man Max’ Alter in fünf Jahren auch als (z + 1)(e – 5) schreiben. Setzt man wieder die beiden Ausdrücke für Max’ Alter gleich, erhält man diesmal e + z + 5 = (z + 1)(e – 5), was man zu z = 10/(e – 6) vereinfachen kann. Da e nur 5, 6, 7, 8 oder 9 sein darf und z ≤ 9 sein muss, gibt es nur eine einzige Lösung, nämlich e = 8 und z = 5. Folglich ist Moritz heute 58 Jahre alt und Max 5 + 8 = 13 Jahre alt und wird Moritz in fünf Jahren 63 Jahre alt sein und Max 6 · 3 = 18 Jahre.
Schreiben Sie uns!
Beitrag schreiben