Lexikon der Mathematik: Archimedes-Algorithmus zur Berechnung von π
das um 240 v. Chr. von Archimedes von Syrakus gefundene Verfahren zur beliebig genauen Annäherung der Zahl π.
Archimedes betrachtete den Einheitskreis vom Umfang 2π und diesem ein- und umgeschriebene regelmäßige Vielecke: Für den Umfang un des einund den Umfang Un des umgeschriebenen n-Ecks ist un< 2π < Un, und es gilt un ↑ 2π und Un ↓ 2π für n → ∞. Diese Einsichten gehen schon auf Antiphon von Rhamnus und Bryson von Heraclea um 430 v. Chr. zurück, doch entscheidend war Archimedes’ Übergang von n zu 2n Ecken, für den er mit Hilfe geometrischer Überlegungen die Beziehungen
fand, die heute leicht aus
und den Halbierungsformeln der trigonometrischen Funktionen herzuleiten sind. Archimedes rechnete, beginnend mit einem regelmäßigen Sechseck (u6 = 3,
lieferte.
Der Archimedes-Algorithmus ist linear konvergent, und es gilt
Dieses Verfahren war das erste und, abgesehen vom dazu äquivalenten Cusanus-Algorithmus, etwa neunzehn Jahrhunderte lang das einzige zu einer beliebig genauen Annäherung an π. Es wird wegen seiner historischen Bedeutung und seiner Anschaulichkeit noch heute in der Schule gelehrt.
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