Lexikon der Mathematik: Cauchy-Produkt
Cauchy-Produktreihe, für viele Anwendungen interessante Produktbildung von Reihen.
Das Cauchy-Produkt ist eine Produktreihe zweier unendlicher Reihen der folgenden Art:
Sind \(\displaystyle {\sum }_{m=0}^{\infty }{a}_{m}\) und \(\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_{n}\) unendliche Reihen, so ist die Cauchy-Produktreihe \(\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{c}_{k}\) definiert durch die Setzung
\begin{eqnarray}{c}_{k}:=\displaystyle \sum _{\ell =0}^{k}{a}_{\ell }{b}_{k-\ell }.\end{eqnarray}
Man kann das etwas anschaulicher auch so formulieren: Die Elemente der Produktreihe \(\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{c}_{k}\) werden durch durch „Anordnung nach Schrägzeilen“
\begin{eqnarray}{c}_{k}:=\displaystyle \sum _{\ell =0}^{k}{a}_{\ell }{b}_{k-\ell }(={a}_{0}{b}_{k}+{a}_{1}{b}_{k-1}+\cdots +{a}_{k}{b}_{0})\end{eqnarray}
Eine oft herangezogene Konvergenzaussage für diese Produktreihe liefert der Reihenproduktsatz von Cauchy (Cauchy, Reihenproduktsatz von).
Sind die Reihen \(\displaystyle {\sum }_{m=0}^{\infty }{a}_{m}\) und \(\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_{n}\) absolut konvergent und a, b ihre Summen, so ist auch die Cauchy-Produktreihe absolut konvergent, und es gilt
\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{c}_{k}=ab.\end{eqnarray}
Für Funktionenreihen gilt: Sind fn, gn : X ⊂ ℂ → ℂ Funktionen und die Reihen \(f=\displaystyle {\sum }_{m=0}^{\infty }{f}_{m}\), \(g=\displaystyle {\sum }_{n=0}^{\infty }{g}_{n}\) normal konvergent in X, so ist die Cauchy-Produktreihe \(h=\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }{h}_{k}\) mit
\begin{eqnarray}{h}_{k}=\displaystyle \sum _{\ell =0}^{k}{f}_{\ell }{g}_{k-\ell }\end{eqnarray}
normal konvergent in X, und es gilt h = fg.Ein wichtiger Spezialfall ist das Cauchy-Produkt von Potenzreihen, denn diese Produktbildung wird insbesondere oft bei der Multiplikation von Potenzreihen benutzt. Es seien
\begin{eqnarray}f(z)=\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }{a}_{m}{(z-{z}_{0})}^{m}\end{eqnarray}
und\begin{eqnarray}g(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{b}_{n}{(z-{z}_{0})}^{n}\end{eqnarray}
Potenzreihen mit KonvergenzradienRf > 0 und Rg > 0.
Dann ist die Cauchy-Produktreihe gegeben durch
\begin{eqnarray}h(z)=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{c}_{k}{(z-{z}_{0})}^{k}\end{eqnarray}
mit\begin{eqnarray}{c}_{k}=\displaystyle \sum _{\ell =0}^{k}{a}_{\ell }{b}_{k-\ell }.\end{eqnarray}
Für deren Konvergenzradius gilt
\begin{eqnarray}{R}_{h}\ge \min \{{R}_{f},{R}_{g}\}\gt 0.\end{eqnarray}
Schließlich ist
\begin{eqnarray}h(z)=f(z)g(z)\end{eqnarray}
für |z| < Rh.
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