Lexikon der Mathematik: Picard-Lindelöf, Existenz- und Eindeutigkeitssatz von
Aussage über die Existenz von eindeutig bestimmten Lösungen des allgemeinen Anfangswertproblems
Die Existenz einer eindeutigen Lösung in einer Umgebung vom Anfangswert x0 liefert der lokale Eindeutigkeitssatz:
Seien a, b > 0, x0 ∈ ℝ, y0 ∈ ℝn,
Dann besitzt das Anfangswertproblem (1) eine eindeutig bestimmte Lösung
Hierbei ist zu beachten, daß man zur Definition von G und der Lipschitz-Konstanten dieselbe Norm ║ · ║ benutzt. Die Existenz und Eindeutigkeit einer maximal fortgesetzten Lösung in einem größeren Bereich G liefert der globale Eindeutigkeitssatz:
Sei G ⊂ ℝn+1offene Menge, (x0, y0) ∈ G, f ∈ C0(G, ℝn), und genüge f lokal einer Lipschitz-Bedingung bezüglichy. Dann besitzt das Anfangswertproblem (1) eine eindeutig bestimmte, maximal fortgesetzte Lösung.
Siehe auch Existenz- und Eindeutigkeitssätze.
[1] Timmann, S.: Repetitorium der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Binomi Hannover, 1995.
[2] Walter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag Berlin, 1972.
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