Lexikon der Mathematik: offene Menge
Teilmenge O eines topologischen Raumes X, in welcher jeder Punkt ein innerer Punkt ist, also eine Umgebung U enthält, die ganz in O liegt.
Ist der topologische Raum in der Form \((X,\,{\mathcal{O}})\) gegeben, so ist per definitionem O genau dann offen, wenn \(O\in \,{\mathcal{O}}\) gilt. Eine Teilmenge A ⊆ X heißt abgeschlossen, wenn X \ A offen ist.
In jedem topologischen Raum \((X,\,{\mathcal{O}})\) sind die Mengen ∅ und X offen und abgeschlossen.
In einem mit der diskreten Topologie versehenen Raum X sind alle Teilmengen von X offen und abgeschlossen. In der natürlichen Topologie von ℝ sind halboffene Intervalle weder offen noch abgeschlossen.
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