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Hemmes mathematische Rätsel: Wie kann man die Summe von Sinusfunktionen im Kopf berechnen?

Können Sie die Summe von den Quadraten der Sinusfunktion für die Winkel von eins bis 90 Grad ohne Taschenrechner berechnen?
Ein Junge rechnet mit den Fingern

Der Sinus lässt sich nur von »einfachen« Winkeln wie 0°, 30°, 45° oder 60° im Kopf berechnen.

Können Sie dennoch ohne Taschenrechner, Smartphone oder Computer die Summe sin2(1°) + sin2(2°) + sin2(3°) + … + sin2(89°) + sin2(90°) berechnen?

Der Kosinus von x unterscheidet sich vom Sinus von x nur um eine Verschiebung von 90°, es gilt also cos x = sin(90° − x). Außerdem hängen der Sinus und der Kosinus von x über den trigonometrischen Satz des Pythagoras sin2 x + cos2 x = 1 zusammen.

Quadriert man die erste Gleichung und setzt sie in die zweite ein, erhält man sin2 x + sin2(90° − x) = 1. Nun werden die Summanden der zu berechnenden Summe ein wenig umsortiert: sin2(1°) + sin2(89°) + sin2(2°) + sin2(88°) + … + sin2(44°) + sin2(46°) + sin2(45°) + sin2(90°).

Die ersten 44 Paare ergeben jeweils den Wert 1, und man bekommt
44 + (1/√2)2 + 12 = 44 + 1/2 +1 = 45,5.

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