azimutaler Kartennetzentwurf, Kartennetzentwurf, bei dem als Ergebnis eines mathematischen Prozesses ein Teil der Erdoberfläche durch Projektion (perspektive Entwürfe) oder durch ein anderes geometrisches Verfahren direkt in die Ebene abgebildet wird. Dabei wird oft die polare Lage, seltener die transversale und die allgemeine Lage angewendet. Die polare Lage spielt eine wichtige Rolle für die Abbildung der Polargebiete der Erde oder der scheinbaren Himmelskugel, da in der Nähe des Berührungspunktes von Kugel und Ebene die Verzerrungen am geringsten sind. Azimutale Kartennetzentwürfe sind Kegelentwürfe mit n = 1, d.h. mit einem Öffnungswinkel von 180º.

Für die azimutalen Kartennetzentwürfe, die durch Projektion entstehen, gelten die in Abbildung 1 dargestellten Beziehungen für die polare Lage. φ und λ sind die geographische Breite bzw. Länge eines beliebigen Punktes A auf der Kugeloberfläche; x, y und z sind rechtwinklige Koordinaten von A auf der Kugeloberfläche. Die x, y-Ebene liegt im Äquator, die X-Achse weist in Richtung des Meridians von Greenwich, die z-Achse fällt mit der Erdachse zusammen: X und Y sind rechtwinklige Koordinaten von A' in der Abbildungsebene. Die Orientierung der Koordinaten X, Y entspricht der der Achsen x, y, d.h., die x-Achse weist nach Norden wie in der Geodäsie. ρ und ε sind Polarkoordinaten.

Für die Zeichnung eines azimutalen Kartennetzentwurfes werden aus praktischen Gründen häufig Polarkoordinaten angewendet. Allgemein gilt das Halbmessergesetz ρ = f(φ) und für den Richtungswinkel ε = λ.

Die wichtigsten azimutalen Kartennetzentwürfe sind:

a) orthographische Projektion, bei der das Projektionszentrum C im Unendlichen (h = ∞) liegt. Die Abbildungsgleichungen zwischen den Koordinaten x, y, z in der Bezugsfläche und X, Y in der Abbildungsebene lassen sich einfach nach dem Strahlensatz aus Abb. 1 ablesen:

X = x = R·cosφ·cosλ und Y = y = R·cosφ·sinλ.

Halbmessergesetz: ρ = R·cosφ. Hierbei ist R der Kugelradius. Die Verzerrungen der orthographischen Projektion lassen sich nach den Formeln für die Längen-, Flächen- und Winkelverzerrungen auf der Grundlage der Verzerrungstheorie berechnen: m_m = sinφ, m_p = 1, ν_f = sinφ, sinΔω/2 = tan²ψ/2,

mit ψ = 90º-φ.

Wie Abbildung 2 zeigt, kann man die halbe Erdkugel in einem Kreis vom Radius R der Bezugskugel abbilden. Die Abbildung 3 zeigt die Lage und Form der Verzerrungsellipsen für die polare orthographische Projektion. Die Abbildung 2 und 3 machen die Stauchungen an den Kartenrändern deutlich. Für die kartographische Abbildung von nahen Himmelskörpern (Mond, Sonne und Planeten) wird meist die orthographische Projektion in transversaler oder auch allgemeiner Lage angewendet, da die Himmelskörper wegen ihrer relativ zum Radius großen Entfernung nahezu in der orthographischen Projektion gesehen werden. Wie die Erde kann auch der Mond in orthographischer Projektion abgebildet werden.

b) gnomonische Projektion (orthodromische Projektion), bei der das Projektionszentrum C ( Abb. 1 ) im Kugelmittelpunkt O liegt. Damit ist h = 0, und die Abbildungsgleichungen ergeben sich zu X = R·cotφ·cosλ, Y = R·cotφ·sinλ, das Halbmessergesetz zu ρ = R·cotφ.

Die gnomonische Projektion ist der einzige Kartennetzentwurf, bei dem jeder Orthodromenbogen (Orthodrome) auf der Kugelfläche als Gerade abgebildet wird, weil seine Ebene das Projektionszentrum enthält. Die Großkreisverbindung zwischen zwei Punkten in der Abbildungsebene läßt sich also als gerade Verbindung leicht konstruieren. Dieser Kartennetzentwurf wird für Navigationskarten angewendet. Durch punktweise Übertragung der Orthodrome in eine Navigationskarte mit anderem Kartennetzentwurf kann in letzterer der Verlauf der Orthodrome zwischen Start- und Zielort bequem graphisch ermittelt werden.

Die Formeln für die Verzerrung lassen sich aus der Verzerrungstheorie ableiten:

mit ψ = 90-φ. Für die Ränder des Entwurfs ergeben sich große Verzerrungen ( Abb. 4 und 5 ).

c) stereographische Projektion, bei der das Projektionszentrum im Gegenpunkt des Tangentialpunktes 0´ liegt. Damit gilt h = R, und die Abbildungsgleichungen ergeben sich zu

mit dem Halbmessergesetz ρ = 2·R·tanψ/2 (ψ = 90º-φ). Die stereographische Projektion ist ein winkeltreuer azimutaler Kartennetzentwurf. Nach der Verzerrungstheorie berechnet man die Verzerrungen ( Tab. ) des Entwurfs zu

Die stereographische Projektion ist der einzige kreistreue Entwurf. Sie wird für Sternkarten bzw. -atlanten benutzt. Hipparch soll sie erstmals um 150 v.Chr. hierfür verwendet haben ( Abb. 6 und 7 ).

d) Lamberts flächentreuer Azimutalentwurf, bei dem, da es sich nicht um eine Projektion handelt und die Forderung nach Flächentreue vorliegt, die Abbildungsgleichungen aus den gegebenen Verzerrungsverhältnissen abgeleitet und in Polarkoordinaten angegeben werden. Man erhält das Halbmessergesetz ρ = 2·R·sinψ/2, wobei ψ = 90º-φ. Für die Winkel zwischen den Abbildungen der Meridiane gilt wie für alle azimutale Kartennetzentwürfe ε = λ. Nach der Verzerrungstheorie erhält man:

m_m = cosψ/2,

mit ψ = 90º-φ.

Das Kartennetz ist in Abbildung 8 in polarer Lage für die Erde und in Abbildung 9 in transversaler Lage für den Mond dargestellt. Dieser Entwurf bildet aufgrund seiner geringen Flächenverzerrung bei weitgehender Formtreue das Kartennetz von zahlreichen Karten in großen Weltatlanten. Wie andere flächentreue Kartennetzentwürfe ist er 1772 von J.H. Lambert angegeben worden.

e) Azimutalentwurf mit längentreuen Meridianen (mittabstandstreuer Kartennetzentwurf): Die Abbildungsgleichungen ergeben sich aus der Forderung nach längentreuen Meridianen zu

ρ = R·arcψ, ε = λ.

Nach der Verzerrungstheorie gelten die Gleichungen:

m_m = 1,

mit ψ = 90º-φ.

In der Regel werden eine Halbkugelfläche oder etwa 20 Breitengrade mehr abgebildet, z.B. bei der drehbaren Sternkarte ( Abb. 10 ). Sie ist ein polarer Entwurf mit drehbarer Deckscheibe in allgemeiner Lage mit dem Tangentialpunkt im Zenit des betreffenden Ortes (in Abb. 12 , φ = 52,5º). Der Entwurf wurde 1581 von G. Postel benutzt. Eine Vorstellung von den Verzerrungen vermittelt Abbildung 11 . Prinzipiell kann man mit diesem Entwurf die ganze Erdoberfläche abbilden. Natürlich sind auf der Halbkugel, die der Abbildungsebene abgewandt ist, insbesondere im Gegenpol, die Verzerrungen unerträglich groß. Deshalb sind sternförmige Karten vorgeschlagen worden, die allerdings in der Gegend des Gegenpols große Klaffungen aufweisen und den Gegenpol mehrfach darstellen. Als Beispiel dient Petermanns Kartennetzentwurf ( Abb. 12 ).

f) Breusings vermittelnder Entwurf: Da die stereographische Projektion an den Rändern eine starke Flächenverzerrung, der flächentreue Lambertsche Azimutalentwurf dagegen eine starke Winkelverzerrung aufweist, schlug A. Breusing (1818-1892) als Mischkarte einen Entwurf vor, dessen Halbmessergesetz als geometrisches Mittel dieser beiden Entwürfe gebildet wird. Stereographische Projektion:

ρ_S = 2·R·tanψ/2,

flächentreuer Lambertscher Entwurf:

ρ_f = 2·R·sin/2ψ.

Für Breusings Entwurf erhält man:

wobei ψ = 90º-φ. Außerdem gilt ε = λ.

Die Berechnung der Verzerrungen wird in üblicher Weise vorgenommen und ergibt:

ν_f = m_m·m_p,

Die vergleichende Betrachtung der Verzerrungswerte in der Tabelle zeigt, daß der eingangs geforderte Effekt erreicht worden ist, wenngleich der Entwurf in keinem Element verzerrungsfrei ist. Er ist ein vermittelnder Entwurf.

g) Solowjows Doppelprojektion: Ein Punkt A wird zunächst stereographisch von der Kugel K₁ auf die Kugel K₂ nach A´ projiziert ( Abb. 13 ). K₂ hat einen doppelt so großen Radius wie K₁. Im Tangentialpunkt der Abbildungsebene berühren sich beide Kugeln. A´ auf der Kugel K₂ wird nochmals stereographisch projiziert und in der Ebene in A´´ abgebildet. Das Halbmessergesetz lautet

ρ = 4·R·tanψ/4, ε = λ.

Die Verzerrungen sind nach der Verzerrungstheorie abgeleitet:

ν_f = m_m·m_p,

sinΔω/2 = tan²ψ/4.

Die Möglichkeiten der Computeranwendung für Kartennetzberechnungen erweitern die Verwendung von azimutalen Kartennetzentwürfen auch auf allgemeine Achslagen. Solche Entwürfe haben den Vorteil, daß sie beim Betrachter die räumliche Vorstellung von der Gestalt der Erde besser unterstützen als die polaren und äquatorialen Achslagen. Als Beispiele hierfür sind fünf der oben behandelten Azimutalentwürfe in den Abbildung 14a-e dargestellt. [KGS]

Literatur: [1] BRANDENBERGER, C. (1996): Verschiedene Aspekte und Projektionen für Weltkarten. – Zürich. [2] FIALA, F. (1957): Mathematische Kartographie. – Berlin. [3] GRAFEREND, E.W., SYFFUS, R. (1995): The oblique azimuthal projection of geodesic type for the biaxial ellipsiod: Riemann polar and normal coordinates. – Journal of Geodesy Vol. 70, – Springer-Verlag. [4] SNYDER, J.P., Voxland, P.M. (1989): An Album of Map Projections. – US Geological Survey Professional Paper 1453.