Sigg M.

Die konvexe Analysis ist ein Grenzgebiet von Geometrie, Analysis und Funktionalanalysis, das sich mit den Eigenschaften konvexer Mengen und konvexer Funktionen befaßt und Anwendungen sowohl in der reinen Mathematik besitzt (von Existenzsätzen in der Theorie der Differential- und Integralgleichungen bis zum Gitterpunktsatz von Minkowski in der Zahlentheorie) als auch in Bereichen wie der mathematischen Ökonomie und den Ingenieurswissenschaften, wo man es oft mit Optimierungs- und Gleichgewichtsproblemen zu tun hat.

In den folgenden Ausführungen, die vor allem auf [4], [5] und [1] zurückgehen, seien alle Vektorräume reell und alle topologischen Räume separiert. Hinsichtlich anderer und allgemeinerer Konvexitätsbegriffe sei auf [3] und für Anwendungen insbesondere auf [2] und [6] verwiesen.

Sind X und Y disjunkte konvexe Teilmengen eines lokalkonvexen Vektorraums V, und ist X abgeschlossen und Y kompakt, so lassen sich X und Y stark trennen.

Zu einer Menge X ⊂ V bezeichnet ext X die Menge der extremalen Punkte von X. Man kann zeigen, daß \begin{eqnarray}\text{ext conv}\space X\subset X\end{eqnarray}

gilt und damit für Y ⊂ V: \begin{eqnarray}X=\text{conv}\space Y\text{}\Rightarrow \text{ext}\space X\subset Y\end{eqnarray}

Im Fall eines topologischen Vektorraums V gilt offenbar ext X ∩ int X = ∅ und damit ext X ⊂ ∂X. Ist V lokalkonvex und \(\overline{\text{conv}}X\text{}\) kompakt, so gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\text{ext}\overline {\text{conv}}\space X\subset \bar{X} \end{array}\end{eqnarray}

Im Jahr 1940 zeigten Mark Grigorjewitsch Krein und David Milman den wichtigen Satz von Krein-Milman: Ist X eine kompakte konvexe Teilmenge eines lokalkonvexen Vektorraums V, so gilt \begin{eqnarray}\overline{\text{conv}}\space \text{ext}\space X=X,\end{eqnarray}

d. h. X ist die abgeschlossene konvexe Hülle seiner extremalen Punkte. Die Kompaktheit von X ist hierbei eine wesentliche Voraussetzung – man betrachte etwa das Innere eines n-Simplex oder einen abgeschlossenen Halbraum im ℝⁿ.

Aus (1) erhält man unter den Voraussetzungen des Satzes von Krein-Milman noch für Y ⊂ X: \begin{eqnarray}X=\overline {\text{conv}}\space Y\iff \text{ext}\space X\subset \bar{Y}.\end{eqnarray}

\(\overline {\text{ext}\space X}\) ist also die kleinste abgeschlossene Menge, deren abgeschlossene konvexe Hülle gleich X ist.

Der Satz von Krein-Milman hat zahlreiche Anwendungen. Beispielsweise fand Joram Lindenstrauss mit seiner Hilfe im Jahr 1966 einen besonders kurzen und eleganten Beweis des Konvexitätssatzes von Ljapunow, der etwa in der Time-Optimal-Control Theory (Bang-Bang-Steuerung) von großer Bedeutung ist.

Stützpunkte

Ist X Teilmenge eines topologischen Vektorraums V, so heißt x ∈ X ein Stützpunkt von X, wenn es ein stetiges lineares Funktional f ≠ 0 auf V gibt mit sup f(X) = f(x). Man nennt f ein Stützfunktional, die Menge x + ker f eine Stützhyperebene und { y ∈ V | f(y) ≤ f(x)} einen stützenden Halbraum von X im Punkt x. Der Durchschnitt aller stützenden Halbräume im Punkt x heißt Stützkegel und der Durchschnitt aller Stützhyperebenen Kantenraum von X im Punkt x. Besteht der Kantenraum genau aus dem Punkt x selbst, so heißt x Ecke von X.

Mit ∂_sX wird die Menge der Stützpunkte von X bezeichnet. Es gilt ∂_sX ⊂ ∂X, d. h. jeder Stützpunkt von X ist ein Randpunkt von X. Eine Teilmenge von V heißt konvexer Körper genau dann, wenn sie konvex ist und ein nicht-leeres Inneres hat. Aus dem Trennungssatz von Mazur folgt, daß für einen abgeschlossenen konvexen Körper X ∂_sX = ∂X gilt. Im ℝⁿ kann man auf die Voraussetzung des nichtleeren Inneren verzichten, i. a. ist sie aber notwendig, ja es gibt sogar konvexe Mengen ohne Stützpunkte.

Nach dem auf Errett Bishop und Robert ℝ. Phelps (1963) zurückgehenden Satz von Bishop-Phelps liegt für jede abgeschlossene konvexe Teilmenge X eines Banachraums die Menge ∂_sX dicht in ∂X. Damit kann man zeigen, daß ∂_sX = ∂X gilt, wenn X eine abgeschlossene konvexe Teilmenge eines endlichdimensionalen normierten Vektorraums ist.

Exponierte Punkte

Ist X Teilmenge eines topologischen Vektorraums V, so heißt x ∈ X ein exponierter Punkt von X, wenn x ein Stützpunkt von X ist und man durch x eine Stützhyperebene legen kann, die X genau in x schneidet, d. h. wenn es ein Stützfunktional f von X im Punkt x gibt mit f(y) < f(x) für y ∈ X \{x}. Die Menge der exponierten Punkte von X wird mit exp X bezeichnet.

Ist X konvex, so gilt exp X ⊂ ext X. Ist X eine kompakte konvexe Teilmenge eines normierten Vektorraums, so liegt nach dem von Stefan Straszewicz (1935) für ℝⁿ und Victor L. Klee (1958) für normierte Vektorräume gezeigten Satz von Klee-Straszewicz exp X dicht in ext X, d. h. es gilt ext \(X\subset \overline{\exp X}\), woraus man \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\overline{\text{conv}}\,\text{exp}X & \subset & \overline{\text{conv}}\,\text{ext}\,X\\ & \subset & \overline{\text{conv}}\,\text{}\overline{\text{exp}X}\\ & = & \overline{\text{conv}}\,\text{exp}X\end{array}\end{eqnarray}

erhält und damit \begin{eqnarray}\overline{\text{conv}}\text{}\exp X=\overline{\text{conv}}\,\text{ext}X=X\end{eqnarray}

als Verschärfung des Satzes von Krein-Milman im Fall eines normierten Vektorraums.

Schreibt man \(A\overline{\subset }B\) für, A liegt dicht in B, d. h. A ⊂ B und \(B\subset \overline{A}\), so gilt für abgeschlossene konvexe Teilmengen X eines normierten Vektorraums nach dem Bisherigen: \begin{eqnarray}\exp X\left\{\begin{array}{lll}\subset & {\partial }_{s}X & \subset \\ \overline{\subset } & \text{ext}X & \subset \end{array}\right\}\partial X.\end{eqnarray}

Für kompakte konvexe Teilmengen X eines Banachraums erhält man mit dem Satz von Bishop-Phelps daraus \begin{eqnarray}\exp X\left\{\begin{array}{lll}\subset & {\partial }_{s}X & \overline{\subset }\\ \overline{\subset } & \text{ext}X & \subset \end{array}\right\}\partial X\end{eqnarray}

und im Fall X ⊂ ℝⁿ\begin{eqnarray}\exp X\left\{\begin{array}{lll}\subset & {\partial }_{s}X & =\\ \overline{\subset } & \text{ext}X & \subset \end{array}\right\}\partial X.\end{eqnarray}

Man kann zeigen, daß ein abgeschlossener konvexer Körper X eines topologischen Vektorraums genau dann streng konvex ist, wenn exp X = ∂X gilt. Daraus erhält man \begin{eqnarray}\exp X\left\{\begin{array}{lcl}= & {\partial }_{s}X & =\\ = & \text{ext}X & =\end{array}\right\}\partial X\end{eqnarray}

für abgeschlossene streng konvexe Körper X.

Reguläre Punkte

Ist X Teilmenge eines topologischen Vektorraums V, so heißt x ∈ X ein regulärer Punkt von X, wenn x ein Stützpunkt von X ist und es im Punkt x genau eine Stützhyperebene von X gibt, d. h. wenn es ein Stützfunktional f von X im Punkt x so gibt, daß jedes Stützfunktional zu X im Punkt x ein positives Vielfaches von f ist. Man nennt ein solches f Tangentenfunktional und {y ∈ V | f(y) ≤ f(x)} einen X im Punkt x tangierenden Halbraum. Die Menge der regulären Punkte von X wird mit ∂_rX bezeichnet.

Die Menge X heißt glatt genau dann, wenn sie konvex ist und alle ihre Randpunkte reguläre Punkte sind, also wenn ∂_rX = ∂X gilt. Ein Kreis ist z. B. glatt. Ein Quadrat ist nicht glatt, weil seine Ecken nicht regulär sind. Mazur konnte 1933 beweisen, daß für einen abgeschlossenen konvexen Körper X in einem separablen Banachraum ∂_rX dicht in ∂X liegt. Damit kann man zeigen, daß jeder abgeschlossene Körper in einem separablen Banachraum der Durchschnitt seiner tangierenden Halbräume ist.

Die Menge X heißt regulär genau dann, wenn sie glatt ist und exp X = ∂X gilt. Jeder glatte streng konvexe Körper ist regulär.

Konvexe Mengen im ℝⁿ

Für konvexe Mengen im ℝⁿ gelten einige Aussagen, wie der Satz von Carathéodory oder der Satz von Fenchel-Bunt (konvexe Hülle), die man in unendlich-dimensionalen Räumen nicht hat.

Der 1913 von Eduard Helly bewiesene Satz von Helly ist eine wichtige und schöne Erkenntnis über Schnitte konvexer Mengen im ℝⁿ: Ist S ein endliches System mindestens n + 1 konvexer Teilmengen von ℝⁿ, und ist der Schnitt von je n + 1 dieser Mengen nicht-leer, so ist auch der Schnitt über ganz S nicht leer. Nützlich für Anwendungen ist auch folgende Variante: Ist S ein beliebiges System mindestens n+1 konvexer Teilmengen von ℝⁿ, das mindestens eine kompakte Menge enthält, und ist der Schnitt von je n + 1 dieser Mengen nicht-leer, so ist auch der Schnitt über ganz S nicht leer.

Der Satz von Helly läßt sich etwa benutzen für einen Beweis des 1903 von Paul Kirchberger angegebenen Satzes von Kirchberger: Sind X und Y endliche Teilmengen von ℝⁿ derart, daß für jede höchstens (n + 2)-elementige Menge Z ⊂ X ∪ Y die Mengen X ∩ Z und Y ∩ Z stark getrennt werden können, dann können auch X und Y stark getrennt werden. Man stelle sich unter X und Y etwa schwarze und weiße Schafe auf einer Wiese vor, die durch einen geradlinigen Zaun der Farbe nach getrennt werden sollen.

Es bezeichne U := U_n die Einheitskugel im ℝⁿ. Versieht man die Menge 𝕂_n der kompakten konvexen Teilmengen von ℝⁿ mit der Hausdorff-Metrik, d. h. mit der für X, Y ∈ 𝕂_n durch \begin{eqnarray}d(X,Y)=\inf \{s\gt 0|X\subset Y+sU,Y\subset X+sU\}\end{eqnarray}

definierten Metrik \(d:{{\mathbb{K}}}_{n}^{2}\to [0,\infty ),\), so ist der metrische Raum (K_n, d) vollständig.

S ⊂ 𝕂_n heißt beschränkt genau dann, wenn \begin{eqnarray}\mathop{\sup }\limits_{X\in S}d(X,\{0\})\lt \infty \end{eqnarray}

gilt. Nach dem auf Wilhelm Johann Eugen Blaschke (1916) zurückgehenden Auswahlsatz von Blaschke besitzt jede beschränkte Folge in 𝕂_n eine in (𝕂_n, d) konvergente Teilfolge. Damit kann man zeigen, daß (𝕂_n, d) lokalkompakt und separabel ist.

Von Interesse ist auch die Approximation konvexer Mengen im ℝⁿ durch konvexe Polyeder oder reguläre konvexe Körper. Es sei ℙ_n ⊂ 𝕂_n die Menge der konvexen Polyeder. Dann ist leicht zu zeigen, daß es zu jedem X ∈ 𝕂_n und jedem &egr; > 0 ein P ∈ ℙ_n gibt mit \begin{eqnarray}P\subset X\subset P+\varepsilon {U}_{n},\end{eqnarray}

woraus d(X, P) < ϵ folgt, d. h. ℙ_n liegt dicht in 𝕂_n.

Nach dem von Hugo Hadwiger (1955) stammenden Satz von Hadwiger gibt es zu jeder kompakten konvexen Nullumgebung X ⊂ ℝⁿ und jedem ϵ > 0 ein P ∈ ℙ_n mit \begin{eqnarray}P\subset X\subset (1+\varepsilon )P.\end{eqnarray}

Damit erhält man, daß es zu jedem kompakten konvexen Körper X ⊂ ℝⁿ und jedem ϵ > 0 konvexe Polyeder P und Q gibt mit \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}P\subset X\subset Q & \text{und} & d(P,Q)\lt \varepsilon.\end{array}\end{eqnarray}

Ferner kann man zeigen, daß es zu jeder kompakten konvexen Menge X ⊂ ℝⁿ und jedem ϵ > 0 eine reguläre kompakte Menge Y ⊂ ℝⁿ gibt mit \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}X\subset Y & \text{und} & d(X,Y)\lt \varepsilon.\end{array}\end{eqnarray}

Für P ∈ ℙ_n sei A_n(P) der Oberflächeninhalt und V_n(P) das Volumen von P. Es sei \({{\mathbb{K}}}_{n}^{0}\subset {{\mathbb{K}}}_{n}\) die Menge der kompakten konvexen Körper. In Erweiterung von A_n und P_n definiert man durch \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{A}_{n}(X) & := & \inf \{{A}_{n}(P)|X\subset P\in {\mathbb{P}}_{n}\}\\ {V}_{n}(X) & := & \inf \{{V}_{n}({\mathbb{P}})|X\subset P\in {\mathbb{P}}_{n}\}\end{array}\end{eqnarray}

den Oberflächeninhalt A_n(X) und das Volumen V_n(X) von \(X\in {\mathbb{K}}_{n}^{0}\). Es gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{A}_{n}(X) & = & \sup \{{A}_{n}(P)|X\supset P\in {\mathbb{P}}_{n}\},\\ {V}_{n}(X) & = & \sup \{{V}_{n}(P)|X\supset P\in {\mathbb{P}}_{n}\}.\end{array}\end{eqnarray}

A_n : \({{\mathbb{K}}}_{n}^{0}\to [0,\infty )\) ist stetig. Setzt man noch \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}V(X):=0 & \text{f}{\rm{\ddot{u}}}\text{r} & X\in {{\mathbb{K}}}_{n}\backslash {{\mathbb{K}}}_{n}^{0},\end{array}\end{eqnarray}

so ist V_n : 𝕂_n → [ 0, ∞) stetig und isoton. Man kann A_n(X) für \(X\in {{\mathbb{K}}}_{n}^{0}\) rekursiv berechnen durch die Cauchy-Oberflächenformel\begin{eqnarray}{A}_{n}(X)=\frac{1}{{V}_{n-1}({U}_{n-1})}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\partial {U}_{n}}{V}_{n-1}({P}_{x}(X))dx.\end{eqnarray}

Dabei bezeichnet P_x für x ∈ ∂U_n die orthogonale Projektion von ℝⁿ auf die Hyperebene {x}^⊥.

Fixpunktsätze

Fixpunktsätze sind wichtige Hilfsmittel zur Herleitung von Existenzsätzen und zur Lösung von Differential- und Integralgleichungen, von Approximations-, Anfangs- und Randwertproblemen. Vorteil der auf Konvexitätseigenschaften beruhenden Fixpunktsätze ist, daß sie keine Kontraktionsforderungen an die betrachtete Funktion stellen.

Grundlegend ist der 1909 von Luitzen Egbertus Jan Brower bewiesene Fixpunktsatz von Brouwer, der besagt, daß jede stetige Abbildung der Einheitskugel im ℝⁿ in sich einen Fixpunkt besitzt. Dieser Satz wurde 1922 von George David Birkhoff und Oliver Dimon Kellogg verallgemeinert auf kompakte konvexe Mengen in den Räumen C^k[0, 1] und L₂[0, 1], im Jahr 1927 von Juliusz Pawel Schauder auf Banachräume mit Schauderbasis und 1930 auf beliebige Banachräume, und schließlich 1935 von Andrej N. Tychonow auf lokalkonvexe Vektorräume: Jede stetige Abbildung f einer nichtleeren kompakten konvexen Teilmenge X eines lokalkonvexen Vektorraums in sich besitzt einen Fixpunkt, d. h. einen Punkt x ∈ X mit f(x) = x.

Konvexe Funktionen

Wie für reellwertige Funktionen auf reellen Inter-vallen nennt man eine auf einer konvexen Teilmenge X eines Vektorraums V definierte Funktion f : X → ℝ konvex genau dann, wenn \begin{eqnarray}f(\alpha {x}_{1}+(1-\alpha ){x}_{2})\le \alpha f({x}_{1})+(1-\alpha )f({x}_{2})\end{eqnarray}

gilt für alle x₁, x₂ ∈ X mit x₁ ≠ x₂ und α ∈ (0, 1), und streng konvex, wenn dabei sogar, <‘ gilt. Konvexität von f ist auch hier äquivalent zur Jensen-Ungleichung\begin{eqnarray}f\left(\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha }_{i}{x}_{i}\right)\le \displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha }_{i}f({x}_{i})\end{eqnarray}

für alle n ≥ 2, α₁, …, α_n ∈ (0, 1) mit : \(\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{\alpha }_{i}=1\) und paarweise verschiedene x₁, …, x_n ∈ X.

Sind f, g : X → ℝ konvex und α, β ≥ 0, so ist auch αf + βg konvex. Ist I eine beliebige Indexmenge und f_i : X → ℝ konvex für i ∈ I, so sind die Menge X₀ := {x ∈ X | sup_i∈I f_i(x) < ∞} und die Funktion sup_i∈I f_i : X₀ → ℝ konvex. Ist (f_n)_n∈N eine Folge konvexer Funktionen f_n : X → ℝ, die punktweise gegen die Funktion f : X → ℝ konvergieren, so ist auch f konvex.

Epigraph und Distanzfunktion

Es gibt eine Reihe von Zusammenhängen zwischen konvexen Funktionen und konvexen Mengen. Eine Funktion f : X → ℝ auf einer konvexen Teilmenge X eines Vektorraums V ist z. B. genau dann konvex, wenn ihr Epigraph\begin{eqnarray}\text{epi}(f)=\{(x,y)|x\in X,y\ge f(x)\}\subset X\times {\mathbb{R}}\end{eqnarray}

konvex ist. Ist V ein normierter Vektorraum, so folgt aus der Konvexität von X ⊂ V die Konvexität der für a ∈ V durch \begin{eqnarray}{d}_{X}(a)=\mathop{\inf }\limits_{x\in X}||x-a||\end{eqnarray}

erklärten Distanzfunktion d_X : V → [0, ∞). Insbesondere ist natürlich ∥ ∥ : V → [0, ∞) konvex.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Es sei X eine offene konvexe Teilmenge eines topologischen Vektorraums V. Ist f : X → ℝ konvex, so ist f genau dann stetig, wenn es eine nicht-leere offene Teilmenge von X gibt, auf der f nach oben beschränkt ist. Ist V normierter Vektorraum, so ist f genau dann stetig, wenn f lokal Lipschitz-stetig ist. Ist V sogar endlichdimensional, so ist jede konvexe Funktion auf X stetig.

Im folgenden sei V ein normierter Vektorraum. Wie bei reellwertigen Funktionen auf reellen Inter-vallen liefert dann für eine Funktion f : X → ℝ die Ableitung ein Konvexitätskriterium: Ist f konvex und an der Stelle a ∈ X differenzierbar, so gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f(x)\ge f(a)+{f}^{^{\prime} }(a)(x-a)\end{array}\end{eqnarray}

für alle x ∈ X, d. h. f liegt über seiner Tangential-hyperebene an der Stelle a. Ist f differenzierbar auf ganz X, so ist f genau dann konvex, wenn (2) für alle a, x ∈ X gilt, und genau dann streng konvex, wenn hierbei in (2) für x ≠ a sogar, >‘ gilt.

Nennt man, in Erweiterung der, reellen‘ Sprechweise, eine auf einer Menge M ⊂ V definierte Funktion g : M → ℝ^Visoton genau dann, wenn \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}(g(x)-g(y))(x-y)\ge 0\end{array}\end{eqnarray}

gilt für alle x, y ∈ M, und streng isoton genau dann, wenn dabei sogar, >‘ gilt für x ≠ y, dann hat man: Ist f : X → ℝ stetig und differenzierbar, so ist f genau dann (streng) konvex, wenn f^′ (streng) isoton ist.

Weiter gilt: Ist f : X → ℝ zweimal differenzierbar, so ist f genau dann konvex, wenn f^′′(x) für jedes x ∈ X positiv semidefinit ist. Ist f^′′(x) für alle x ∈ X positiv definit, so ist f streng konvex. Im Fall V = ℝⁿ hat man also die Hesse-MatrixH_f (x) zu untersuchen.

Ist V ein Vektorraum und X ⊂ V konvex, so ist jede konvexe Funktion f : X → ℝ einseitig Gâteaux-differenzierbar, d. h. für jedes x ∈ X und v ∈ V derart, daß es ein α > 0 gibt mit x + αv ∈ X, existiert die Gâteaux-Ableitung \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\varepsilon \downarrow 0}\frac{1}{\varepsilon }(f(x+\varepsilon v)-f(x)).\end{eqnarray}

Ist V ein endlichdimensionaler normierter Vektorraum, so ist f an einer Stelle genau dann differenzierbar, wenn f dort Gâteaux-differenzierbar ist.

Es sei X ⊂ ℝⁿ offen und konvex. Weder aus der Existenz aller partiellen Ableitungen noch aller Richtungsableitungen einer Funktion an einer Stelle folgt dort i. a. ihre Differenzierbarkeit. Jedoch ist eine konvexe Funktion f : X → ℝ an einer Stelle a ∈ X genau dann differenzierbar, wenn dort alle ihre partiellen Ableitungen existieren. Ferner gilt: f ist fast überall differenzierbar, und f^′ ist stetig. Insbesondere ist jede differenzierbare konvexe Funktion stetig differenzierbar.

Literatur

[1] Giles, J. R.: Convex Analysis with Application in Differentiation of Convex Functions. Pitman London, 1982.

[2] Hiriat-Urruty, J.-B.; Lemaréchal, C.: Convex Analysis and Minimization Algorithms I,II. Springer-Verlag Berlin, 1993.

[3] Hörmander, L.: Notions of Convexity. Birkhäuser-Verlag Boston, 1994.

[4] Marti, J. T.: Konvexe Analysis. Birkäuser-Verlag Basel, 1977.

[5] Roberts, A. W.; Varberg, D. E.: Convex Functions. Academic Press New York, 1973.

[6] Stoer, J; Witzgall, C.: Convexity and Optimization. Springer-Verlag Berlin, 1970.