Aussage über die Stetigkeit von Operatoren auf L^p-Räumen.

Man sagt, ein Operator T von L^p (μ) nach L⁰(v) sei vom starken Typ (p, q), falls eine Konstante c mit \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{\Vert Tf\Vert }_{q}\le c{\Vert f\Vert }_{p}\quad \forall f\in {L}^{p}\end{array}\end{eqnarray} existiert, und vom schwachen Typ (p, q), falls eine Konstante c mit \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\mathop{\sup }\limits_{\lambda \ge 0}\lambda v{(\{\omega :|(Tf)(\omega )|\ge \lambda \})}^{1/q}\le c{\Vert f\Vert }_{p}\,\,\,\forall f\in {L}^{p}\end{array}\end{eqnarray} existiert. (1) ist äquivalent zur Stetigkeit des Operators von L^p nach L^q, während (2) zur Stetigkeit des Operators von L^p in den Lorentz-RaumL^q,∞ äquivalent ist. Mit diesen Bezeichnungen gilt:

Seien 1 ≤ p₀ ≤ q₀ ≤ ∞, 1 ≤ p₁ ≤ q₁ ≤ ∞ und q₀ ≠ q₁. Sei T ein Operator vom schwachen Typ (p₀, q₀) und schwachen Typ (p₁, q₁).

Ist 0 < ϑ< 1 und\begin{eqnarray}1/p=(1-\vartheta )/{p}_{0}+\vartheta /{p}_{1}\end{eqnarray}sowie\begin{eqnarray}1/q=(1-\vartheta )/{q}_{0}+\vartheta /{q}_{1},\end{eqnarray}so ist T auch vom starken Typ (p, q).

Viele singuläre Integraloperatoren sind vom schwachen Typ (1, 1), jedoch nicht vom starken Typ (1,1), und vom starken Typ (2, 2), sodaß sie nach dem Interpolationssatz von Marcinkiewicz auch vom starken Typ (p, p) für 1 < p< 2 sind.

In (1) und (2) sowie im Satz kann man statt linearer Operatoren auch quasilineare Operatorenzulassen; das sind Abbildungen, die lediglich \begin{eqnarray}|T(f+g)|\le c(|Tf|+|Tg|),\quad |T(\lambda f)|=|\lambda ||Tf|\end{eqnarray} erfüllen. Beispiele hierfür sind viele Maximaloperatoren der harmonischen Analysis.