liegt bei einer Funktion \(f:D\to {\mathbb{R}}\) an einer inneren Stelle \(a\in D\subset {\mathbb{R}}\) vor, wenn der Differenzenquotient Q_f (a, x) für \(D\, {\unicode{8717;}}\, x\to a\) in \({\mathbb{R}}\) nicht konvergiert.

Da die Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle ihre Stetigkeit an dieser Stelle nach sich zieht, ist Unstetigkeit der grundlegendste Fall von Nicht-Differenzierbarkeit.

Selbst bei stetigem und außer an der Stelle a differenzierbarem f ist es möglich, daß Q_f (a, x) weder für x → a − noch für x → a + konvergiert und auch nicht bestimmt divergiert. So ist etwa die Funktion \(f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}\) mit \begin{eqnarray}f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x\sin \frac{1}{x} &, & x\ne 0\\ 0 &, & x=0\end{array}\right.\end{eqnarray} stetig und gemäß der Kettenregel in \({\mathbb{R}}\backslash \{0\}\) differenzierbar mit \begin{eqnarray}{f}{^{\prime} }(x)=\sin \displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{x}\cos \displaystyle\frac{1}{x}.\end{eqnarray} Da \begin{eqnarray}{Q}_{f}(0,x)=\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x}=\sin \displaystyle\frac{1}{x}\end{eqnarray} für x → 0 nicht konvergiert, ist f nicht differenzierbar an der Stelle 0 (Abbildung 1).

Weiter kann es sein, daß Q_f (a, x) für x → a − oder x → a + zwar nicht konvergiert, aber bestimmt gegen −∞ oder ∞ divergiert. Dann spricht man auch von uneigentlicher Differenzierbarkeit. Selbst wenn beide Grenzwerte \begin{eqnarray}\begin{array}{ccccc}{f}{^{\prime}_{-}}(a) & = & {Q}_{f}(a,a-) & = & \mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\uparrow a}{Q}_{f}(a,x)\\ {f}{^{\prime}_{+}}(a) & = & {Q}_{f}(a,a+) & = & \mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\downarrow a}{Q}_{f}(a,x)\end{array}\end{eqnarray} in \({\mathbb{R}}\) existieren, können sie noch verschieden voneinander sein, d. h. f ist nur linksseitig- und rechts seitig differenzierbar an der Stelle a. Ist dabei f außer an der Stelle a differenzierbar, so hat f an der Stelle a einen ‚Knick‘. Das einfachste Beispiel hierfür ist die Betragsfunktion \(||:{\mathbb{R}}\to [0,\infty )\), die außer an der Stelle 0 differenzierbar ist mit der Ableitung –1 in (−∞, 0) und der Ableitung 1 in (0, ∞). Es gilt \({|0|}{^{\prime}_-}=-1\) und \({|0|}{^{\prime}_{+} }=-1\) (Abbildung 2).

Angemerkt sei hier noch, daß sogar bei einer in einer ganzen Umgebung einer Stelle a differenzierbaren Funktion f die Grenzwerte f′(0−) und f′(0+) nicht zu existieren brauchen, geschweige denn f′ stetig sein muß. Beispielsweise ist die Funktion \(f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}\) mit \begin{eqnarray}f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^{2}\sin \frac{1}{x} &, & x\ne 0\\ 0 &, & x=0\end{array}\right.\end{eqnarray} differenzierbar mit \begin{eqnarray}f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2{x}\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x} &, & x\ne 0\\ 0 &, & x=0\end{array}.\right.\end{eqnarray} Zwar ist f′ stetig in \({\mathbb{R}}\backslash \{0\}\) und in der Umgebung von 0 beschränkt, doch f′(0−) und f‘(0+) existieren nicht, weil f′ in jeder Umgebung von 0 zwischen —1 und 1 ‚pendelt‘ (Abbildung 3).

Die Funktionen der obigen Beispiele waren differenzierbar mit Ausnahme einzelner Stellen. Umgekehrt gibt es Funktionen, die nur an isolierten einzelnen Stellen differenzierbar sind. Zum Beispiel ist die Funktion \(f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}\) mit \begin{eqnarray}f(x)=\left\{\begin{array}{ccl}x &, & x\in {\mathbb{Q}}\\ x+{x}^{2} &, & x\in {\mathbb{R}}\backslash {\mathbb{Q}}\end{array}\right.\end{eqnarray} differenzierbar an der Stelle 0 mit \({f}{^{\prime} }(0)=1\), aber in \({\mathbb{R}}\backslash \{0\}\) nicht einmal stetig (Abbildung 4).

Auch die Funktion \(f:{{\mathbb{R}}}^{2}\to {\mathbb{R}}\) mit \begin{eqnarray}f(x,y)=\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle\frac{xy^2}{{x}^{2}+{y}^{4}} &, & (x,y)\ne (0,0)\\ 0 &, & (x,y)=(0,0)\end{array}\right.\end{eqnarray} ist in \({{\mathbb{R}}}^{2}\backslash \{(0,0)\}\) differenzierbar und besitzt sogar alle Richtungsableitungen an der Stelle (0, 0), ohne dort stetig zu sein (Abbildung 6).