in einzelnen Teilgebieten der Mathematik Bezeichnung für verschiedenartige Abbildungen – einerseits solche, deren zweimalige Hintereinanderausführung wieder dieselbe Abbildung ergibt, und andererseits für Abbildungen von ‚zusammengesetzen Objekten‘ auf ihre, Bestandteile‘.

Beispiele sind die folgenden: In der Linearen Algebra betrachtet man Projektionen eines VektorraumesV : Dies ist die durch (1) definierte Abbildung P : V → U von V in den Unterraum U ⊆ V bzgl. der direkten Summenzerlegung V = U ⊕ W : \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}P(\upsilon )=P(u+w):=u. & (1)\end{array}\end{eqnarray}

Dabei bezeichnet w das zu u ∈ U eindeutig bestimmte Element aus W mit v = u + w (Projektor von V längs (parallel zu) W auf U).

Für eine derartige Projektion P gilt stets P(u) = u für alle u ∈ U, und diese Eigenschaft kann auch als Definition einer Projektion dienen.

In der projektiven algebraischen Geometrie meint man mit dem Begriff Projektion meist die Zentralprojektion mit einem linearen Unterraum D ⊂ ℙ(E) (projektiver Raum) als Zentrum.

Wenn D = ℙ(E/F), so ist dies die Abbildung \begin{eqnarray}{\pi }_{D}:{\mathbb{P}}(E)\backslash D\to {\mathbb{P}}(F),\end{eqnarray}

die jedem H ⊂ ℙ(E) \ D (d. h. jedem Unterraum H von E der Kodimension 1, der F nicht enthält) den Unterraum H ∩ F ⊂ F zuordnet. Dies ist ein Morphismus algebraischer Varietäten. Ist T₀, …, T_n Basis von E und L₀ (T), …, L_q(T) Basis von F, so drückt sich die Abbildung in homogenen Koordinaten durch \begin{eqnarray}{\pi }_{D}({a}_{0}:\cdots, {a}_{n})=({L}_{0}(a):\cdots :{L}_{q}(a))\end{eqnarray}

aus.

Ebenso bezeichnet man die Einschränkung von π_D auf quasiprojektive Schemata X ⊂ ℙ(E) \ D als Zentralprojektion π_D : X → ℙ(F) = ℙ^q.

Wenn X projektiv ist, so ist dies ein endlicher Morphismus (als Folge des Hilbertschen Nullstellensatzes). Auf diese Weise erhält man, wenn der Grundkörper unendlich ist, den Noetherschen Normalisierungssatz.

Ist schließlich A = A₁ × · · · × A_r ein Produkt von Mengen, so heißt die Abbildung (a₁, …, a_r) ↦ a_j die Projektion auf den j-ten Faktor.

Siehe auch Parallelprojektion, Zentralprojektion.