Lexikon der Mathematik: Spektraltheorie
Teilgebiet der Funktionalanalysis, eine Verallgemeinerung der Eigenwerttheorie für Matrizen.
Sei T ein abgeschlossener linearer Operator in einem komplexen BanachraumX. Ein Eigenwert von T ist eine komplexe Zahl λ, für die ein Element x ≠ 0 mit Tx = λx existiert. Während diverse Eigenschaften von Matrizen an deren Eigenwerten abgelesen werden können, ist der Begriff des Eigenwerts im Unendlichdimensionalen i. allg. zu schwach; er muß durch den Begriff des Spektralwerts (Spektrum, Resolventenmenge) ersetzt werden: λ gehört zum Spektrum σ(T), wenn der Operator λ − T : = λ Id − T keine stetige Inverse besitzt. Zum Beispiel ist für den Multiplikationsoperator f ↦ hf auf dem Raum C[0, 1] das Spektrum genau der Wertebereich der stetigen Funktion h. Für einen beschränkten Operator ist σ(T) kompakt und nicht leer; genauer ist
Die hauptsächliche Bedeutung der Spektraltheorie liegt in der Möglichkeit, Operatoren spektral zu zerlegen und einen Funktionalkalkül zu definieren. Ersteres gelingt insbesondere für selbstadjungierte (oder lediglich normale) Operatoren in Hilberträumen. Ist T ein solcher Operator, dann existiert ein projektionswertiges Maß E auf der Borel-σ-Algebra von σ(T) mit
Obwohl i. allg. zwischen Spektrum und Eigenwerten unterschieden werden muß, ist z. B. für kompakte Operatoren und p-summierende Operatoren jeder von 0 verschiedene Spektralwert ein Eigenwert, und das Spektrum bildet eine Nullfolge. Eine wichtige Frage ist dann, wie schnell die Eigenwertfolge gegen 0 konvergiert; vgl. hierzu Weyl-Ungleichung.
In größerer Allgemeinheit existieren die Begriffe Spektrum, Resolvente etc. auch für Elemente einer Banachalgebra mit Einheit; der Fall eines Operators entspricht dem Fall der Spektraltheorie bzgl. der Banachalgebra L(X) aller stetigen linearen Operatoren.
[1] Pedersen, G.K.: Analysis Now. Springer Berlin/Heidelberg, 1989.
[2] Pietsch, A.: Eigenvalues and s-Numbers. Cambridge University Press, 1987.
[3] Reed, M.; Simon, B.: Methods of Mathematical Physics I: Functional Analysis. Academic Press New York, 2. Auflage 1980.
[4] Werner, D.: Funktionalanalysis. Springer Berlin/Heidelberg, 1995.
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