Komplement der Resolventenmenge eines abgeschlossenen linearen Operators T in einem Banachraum.

Das Spektrum σ(T) von T ist eine abgeschlossene Teilmenge von ℂ; ist T stetig, so ist σ (T) beschränkt und nicht leer, und max{|λ| : λ ∈ σ(T)} stimmt mit dem Spektralradius von T überein.

Das Spektrum von T kann in drei disjunkte Teile aufgespalten werden, nämlich das Punktspektrum σ_p(T) = {λ : λ Id −T ist nicht injektiv}, das aus allen Eigenwerten von T besteht, das stetige Spektrum σ_c(T) = {λ : λ Id −T ist injektiv, nicht surjektiv und hat dichtes Bild}, und das Residualspektrum σ_r(T) = {λ : λ Id −T ist injektiv und hat kein dichtes Bild}. Für einen kompakten Operator auf einem unendlichdimensionalen Raum ist σ(T) = {0}∪σ_p(T), und füreinen selbstadjungierten Operator auf einem Hilbertraum ist \({\sigma}_{r}(T)=\varnothing \). Schließlich besteht das diskrete Spektrum aus den Eigenwerten endlicher Vielfachheit. In diesem Sinne bezeichnet das Spektrum einer (endlichen) Matrix die Menge ihrer Eigenwerte.

Für selbstadjungierte Operatoren existiert noch eine von dem obigen Begriff zu unterscheidende Version des stetigen Spektrums. Sei T : H ⊃ D(T) → H selbstadjungiert, und seien u_x(A) = ⟨E(A)x, x⟩, x ∈ H, die bzgl. der Spektralzerlegung von T gebildeten Maße auf ℝ (Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren). Sei weiterhin H_ac = {x ∈ H : μ_x ist absolutstetig bzgl. des Lebesgue-Maßes} und σ_ac(T) das Spektrum der Einschränkung von T auf H_ac. Dann heißt σ_ac(T) das absolutstetige Spektrum von T.

[1] Reed, M.; Simon, B.: Methods of Mathematical Physics I: Functional Analysis. Academic Press New York, 2. Auflage 1980.