Verfahren zur Bestimmung einer partikulären Lösung eines inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{{\bf{y}}}^{\prime}=A(t){\bf{y}}+{\bf{b}}(t) & (1)\end{array}\end{eqnarray} bzw. einer inhomogenen linearen Differentialgleichung\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{y}^{(n)}+{a}_{n-1}(x){y}^{(n-1)}+\cdots +{a}_{0}(x)y=b(x). & (2)\end{array}\end{eqnarray}

Sei Y(t) ≔ (y₁(t), …, y_n(t)) ein Fundamentalsystem des zu (1) gehörenden homogenen Systems y′ = A(t)y. Dann sind alle Lösungen dieses homogenen Systems von der Form y(t) = Y(t)c. Dabei ist c = (c₁, …, c_n) ein konstanter Vektor. Die Konstanten c₁…,c_n werden nun „variiert“, d. h., durch Funktionen von t ersetzt: Der Ansatz y_p(t) = Y(t)c(t), wobei y_p eine Lösung der Gleichung (1) sei, führt zu der Bedingung Y(t)c′(t) = b(t). Da Y ein Fundamentalsystem ist, gilt für die Wronski- DeterminanteW(t) = det Y(t) ≠ 0, also existiert Y⁻¹. Damit ergibt sich eine partikuläre Lösung von (1): \begin{eqnarray}{{\bf{y}}}_{p}(t)=Y(t)\displaystyle \underset{{t}_{0}}{\overset{t}{\int}}{Y}^{-1}(s){\bf{b}}(s)ds.\end{eqnarray}

Ausgehend von diesem Ergebnis für das lineare System (1) und einem Fundamentalsystem y₁ …,y_n für die zu (2) gehörende homogene Differentialgleichung erhält man mit dem zu der Differentialgleichung (2) äquivalenten System (siehe dazu lineare Differentialgleichung) und der entsprechenden Wronski-DeterminanteW, unter Zuhilfenahme der Cramerschen Regel, eine partikuläre Lösung von (2): \begin{eqnarray}{y}_{p}(x)=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left[{(-1)}^{n+i}{y}_{i}(x)\displaystyle \underset{{x}_{0}}{\overset{x}{\int}}\frac{{W}_{i}(s)}{W(s)}b(s)ds\right]\end{eqnarray}

Dabei ist W_i die Determinante, die aus W durch Streichen der i-ten Spalte und n-ten Zeile entsteht.

[1] Walter, W.: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag Berlin, 1972.