Grundlegende Begriffe und Aufgaben

Grundlegende Begriffe der Analysis sind – aufbauend auf den Begriffen Zahl und Funktion, speziell Folgen, dann Reihen und Potenzreihen – Stetigkeit und Grenzwert und damit Ableitung und Integral.

Der Grenzwertbegriff (Limes) präzisiert die intuitive vage Vorstellung, daß sich Funktionswerte einer Funktion f einem Wert s (beliebig) nähern, wenn sich die Argumente einem Punkt a nähern. Stetigkeit erfaßt mathematisch exakt die grobe Idee, daß sich die Funktionswerte nur wenig ändern, wenn sich die Argumente wenig verändern. Dieses ist keineswegs eine „akademische“ Fragestellung; denn in vielen Bereichen – auch des täglichen Lebens – möchte man sicher sein, daß sich kleine Veränderungen in irgendwelchen Eingabegrößen wenig – also gerade nicht „chaotisch“– auf das Ergebnis auswirken.

Die Grundaufgabe der Differentialrechnung ist die Berechnung der Ableitung f′(a) zu einer gegebenen Funktion f an einer Stelle a. Geometrisch gesprochen die Bestimmung der Steigung der Tangente an die durch f beschriebene Kurve im Punkt (a, f(a)).

Pionierzeit – Bemühen um wissenschaftliche Strenge

Nach ersten Ansätzen in der Antike – etwa Zenon von Elea (ca. 495–435 v. Chr.; Achill und die Schildkröte), Eudoxos von Knidos (408–355 v. Chr.; Proportionenlehre und Exhaustionsmethode) und Archimedes von Syrakus (287–212 v. Chr.; Kompressionsverfahren und Exhaustionsmethode zur Flächen- und Volumenberechnung spezieller Flächen bzw. Körper) –, dann Wegbereitung und Lösung spezieller Fragestellungen durch Johannes Kepler (1571–1630), Bonaventura Cavalieri (1598–1647) und Pierre de Fermat (1601–1665) und vor allem nach der stürmischen Entwicklung der Mathematik im 17. und 18. Jahrhundert, begann ab etwa 1830 eine kritische Besinnung auf die Grundlagen, ein Bemühen um Strenge der mathematischen Deduktion; denn neben großartigen Erfolgen gab es in dieser Pionierzeit erhebliche Unklarheiten in Grundbegriffen und Beweismethodik und damit dann Widersprüche. Die damaligen Grundlagen stellten sich als inadäquat heraus, der Boden war schwankend. So in der Infinitesimalrechnung seit ihrer Begründung durch Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716) und Isaac Newton (1643–1727) etwa die nicht präzisierte Vorstellung von „unendlich kleinen Größen“. (Diese wurden erst 1961 in der Nichtstandard-Analysis von Abraham Robinson (1918–1974) zu wohldefinierten mathematischen Objekten.) Auch die durch Joseph Fourier (1768–1830) – ausgehend von Problemen der Wärmeleitung – begründete Theorie der nach ihm benannten Reihen erforderte eine Präzisierung der grundlegenden Begriffe.

Reelle Analysis – Komplexe Analysis

Die Theorie der Funktionen reeller Variabler wird abgrenzend auch als reelle Analysis bezeichnet, die der Funktionen komplexer Variabler, auf die an anderer Stelle eingegangen wird, als komplexe Analysis, speziell Funktionentheorie. Die Funktionentheorie hat sich von der reellen Analysis mit eigenständigen Methoden und andersartigen Themen abgesetzt; viele Phänomene im Reellen werden aber erst verständlich, wenn man den Übergang zum Komplexen macht. Die frühzeitige Einbeziehung komplexer Zahlen bringt aber auch in rein reellen Fragestellungen vielfach erstaunliche Vereinfachungen, so daß dies heute weitgehend Standard in der (Hochschul-) Lehre ist.

Eindimensionale reelle Analysis

Stichwortartig sei grob ein Aufbau der eindimensionalen reellen Analysis skizziert, wie er heute zumindest im Kern Standard in vielen Analysis-Vorlesungen ist:

Axiomatische Einführung der reellen Zahlen (ℝ), damit der natürlichen (ℕ), ganzen (ℤ), rationalen (ℚ) und dann der komplexen Zahlen (ℂ); Zusammenspiel von algebraischen (Körper) und topologischen Gesichtspunkten (hier über Ordnungsstruktur); Folgerungen aus dem Vollständigkeitsaxiom; Folgen, Reihen, Potenzreihen (Konvergenzbegriff); Stetigkeit (u. a. Zwischenwertsatz und Satz über die Annahme von Extremwerten), gleichmäßige Stetigkeit; Differentialrechnung: U.a. Satz von Rolle und Mittelwertsatz mit Folgerungen für lokales Verhalten und damit Extremwertbestimmung gewisser Funktionen; Differentiation von Potenzreihen und der Umkehrfunktion; Höhere Ableitungen mit Folgerungen über Krümmung (Konvexität, Konkavität); Stammfunktionen (unbestimmte Integrale); Bestimmtes Integral, Flächeninhalt; Funktionenfolgen, gleichmäßige Konvergenz; Taylor-Reihen; Uneigentliche Integrale.

Mehrdimensionaler Fall

Bei der Verallgemeinerung auf den mehrdimensionalen Fall ist die Betrachtung von Funktionen f : D → ℝⁿ mit D ⊂ ℝ (und einer natürlichen Zahl n) durch Zurückführung auf Koordinatenfunktionen recht einfach. Aber schon die Betrachtung von Funktionen f : ℝ² → ℝ ist etwas schwieriger. Dabei sind geometrische Vorstellung („Fläche“ im ℝ³) und dazu graphische Darstellungen wie etwa durch Niveauoder Höhenlinien und Vertikalschnitte hilfreich:

Bei der durch f(x, y) := x² +y² definierten Funktion f : ℝ² → ℝ sind die nicht-trivialen Höhenlinien Kreise. Dreidimensional gezeichnet, sieht das ungefähr so aus:

Für f : ℝ² → ℝ, definiert durch f(x, y) := x² −y², sind die Niveaulinien Hyperbeln. Ergänzt man dies durch die beiden „Vertikalschnitte“ f(0, y) = −y² und f(x, 0) = x², so gewinnt man schon einen guten Überblick über den Graphen. Die anschließende dreidimensionale Zeichnung vermittelt mit den Höhenlinien und den angegebenen Vertikalschnitten einen ungefähren Eindruck.

Heute erhält man mit leistungsfähigen Computeralgebrasystemen, zum Beispiel Mathematica oder Maple, ganz einfach ansprechende Graphiken – mit zahlreichen Optionen für die Darstellung (Farben, Drehen, Stauchen, Schattierung, …).

Ein beliebtes Beispiel ist etwa der Affensattel.

Eine Einführung in die mehrdimensionale Analysis wird zumindest enthalten: Topologische Grundbegriffe für die Analysis im ℝⁿ: Der ℝⁿ als normierter Vektorraum, Konvergenz, Kompaktheit; Stetigkeit und Grenzwert; Zusammenhang; Differenzierbare Abbildungen: Totale und partielle Differenzierbarkeit; Mittelwertsatz; Fehlerabschätzungen; Höhere (partielle) Ableitungen, Satz von Schwarz; Satz von Taylor; Lokale Extremwerte; Lokale Umkehrbarkeit; Implizite Funktionen; Extrema mit Nebenbedingungen (Lagrange-Multiplikatoren); Umkehrung der Differentiation: Kurven und Kurvenintegrale; Hauptsätze (zum Umkehrproblem); Integral auf dem ℝⁿ: Inhalt und Meßbarkeit; Iterierte Integration; Transformationssatz (Substitutionsregel); Integralsätze von Gauß und Stokes.

Absolute Analysis

Die moderne Analysis verdankt ihren Erfolg – neben ein- bzw. mehrdimensionaler reeller Analysis – wesentlich dem Einsatz von Techniken der Funktionalanalysis, der Maßtheorie und der Topologie.

Die Funktionalanalysis ist die wichtige Verallgemeinerung der klassischen Analysis, dabei heute kaum noch von ihr klar abzugrenzen. In der Entwicklung der Funktionalanalysis, angeregt durch die bahnbrechenden Überlegungen von David Hilbert (1862–1943), Erhard Schmidt (1876–1959) und Frigyes Riesz (1880–1956), brachte John von Neumann 1928 die entscheidende Idee: Die Theorie wurde von den Schranken Koordinatendarstellung und Matrizenkalkül befreit und zu einer koordinaten- und dimensionsfreien Theorie gestaltet. Eine moderne Analysis sollte sich heute daran orientieren! Die Elimination der Koordinaten bringt nicht nur formalen Gewinn. Sie führt zu Durchsichtigkeit und Einfachheit auch in der Theorie der Funktionen mehrerer Variabler. Allgemeiner als die bis dahin betrachteten Hilberträume führte 1920 Stefan Banach (1892–1945) die später nach ihm benannten Banachräume ein, die heute Standard für viele Theorien sind. Die Strukturen werden übersichtlich und deutlich, was Erlernen und Weiterentwicklung der Ideen entscheidend fördert. Ein solcher moderner Kalkül hat auch wesentliche Vorteile in den Anwendungen, so etwa in der theoretischen Physik.

Zudem ist die Beschäftigung damit (Spektraltheorie in abstrakten Hilbert-Räumen) ohnehin zwingend, wenn man die Quantentheorie mathematisch befriedigend behandeln will. Die Erweiterung ist naheliegend und eigentlich zwingend; sie drängt sich auch aus Fragestellungen der klassischen Analysis heraus auf, zum Beispiel: In der Variationsrechnung sind die unabhängigen Größen nicht Zahlen oder Vektoren im ℝⁿ, sondern Funktionen. So untersuchte z. B. schon Leonhard Euler (1707–1783) das Problem, eine Funktion y zu finden, die ein Funktional \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}F(x,y(x),{y}^{\prime}(x))dx\end{eqnarray}

extremal macht, wobei alle stückweise stetig differenzierbaren Funktionen y : [a, b] → ℝ mit y(a) = A, y(b) = B – bei vorgegebenen reellen Zahlen a, b, A, B mit a < b – zugelassen sind. Die resultierende Euler-Lagrange-Gleichung wurde wesentlich zunächst für die Mechanik und später auch für die Quantenmechanik.

Beziehung zu den Anwendungen

Die Analysis bezieht, wie vorne schon gesagt, viele ihrer Fragestellungen und wichtige Impulse aus den Naturwissenschaften (vor allem der Physik), der Technik und Informatik (Ingenieurwissenschaften) und heute auch aus Wirtschafts-, Sozialund Finanzwissenschaften. Dabei resultiert aus der Allgemeinheit und Abstraktheit der grundlegenden Begriffe und Methoden ihre universelle Anwendbarkeit in den sehr unterschiedlichen Anwendungsbereichen. Ganz wichtig ist dabei, jeweils die „richtige“ Übersetzung in die Sprache der Mathematik zu finden (Modellierung). Explizite Lösungsformeln sind bei vielen Fragestellungen, die Anwender an die Mathematik stellen, eher der Ausnahmefall. Deshalb sind abstrakte Existenz- und Eindeutigkeitssätze auch für Anwender durchaus wichtig.

Die Analysis erhält aus den genannten Fächern durch schwierige Aufgaben immer wieder entscheidende Impulse. Die Bedeutung der wechselseitigen Beziehungen zwischen der Analysis und den Naturwissenschaften und allgemeiner Wissenschaften, die die Erfahrung auf einer höheren Ebene als der rein beschreibenden interpretieren, kann kaum überschätzt werden. Die Theorie steht in andauerndem fruchtbaren Kontakt zu diesen Wissenschaften, wobei diese einerseits wertvolle Hilfe durch die Theorie erfahren, andererseits diese immer wieder mit konkreten Problemen neu beleben und fordern.

Dadurch ist die Analysis weniger als manche andere Bereiche in der Mathematik ausschließlich der Eigendynamik gefolgt, weniger in Gefahr, durch „mathematische Inzucht“ in Richtung „l’art pour l’art“ zu degenerieren.

Literatur

[1] Amann, H.: Analysis 1, 2. Birkhäuser Basel, 1998, 1999.

[2] Blatter, C.: Analysis I, II, III. Springer-Verlag Berlin, 1991, 1992, 1981.

[3] Bourbaki, N.: Fonctions d’une variable réelle. Hermann Paris, 1976.

[4] Cartan, H.: Differentialformen. B.I.-Wissenschaftsverlag Mannheim, 1974.

[5] Dedekind, R.: Was sind und was sollen die Zahlen., 1888.

[6] Dieudonné: Grundzüge der modernen Analysis 1–9. Vieweg-Verlag Braunschweig, 1975–1987.

[7] Heuser, H.: Lehrbuch der Analysis, Teil 1, 2. Teubner-Verlag Stuttgart, 1993.

[8] Hoffmann, D.: Analysis für Wirtschaftswissenschaftler und Ingenieure. Springer-Verlag Berlin, 1995.

[9] Kaballo, W.: Einführung in die Analysis I, II, III. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, 1996, 1997, 1999.

[10] Lang, S.: Undergraduate Analysis. Springer-Verlag New York, 1983.

[11] Rudin, W.: Analysis. Oldenbourg Verlag, 1998.

[12] Walter, W.: Analysis 1, 2. Springer-Verlag Berlin, 1997, 1992.