Lexikon der Mathematik: gleichmäßig stetige Funktion
eine Funktion f : X → Y eines metrischen Raums X in einen metrischen Raum Y mit der Eigenschaft, daß es zu jedem ϵ > 0 ein δ > 0 derart gibt, daß f je zwei Punkte, die näher als δ beieinander liegen, auf zwei Punkte abbildet, die näher als ∈ beieinander liegen. Sind dX, dY die Metriken auf X bzw. Y, so lautet das Kriterium für gleichmäßige Stetigkeit mit Quantoren geschrieben:
Im Spezialfall normierter Vektorräume (X, ∥ ∥X) und (Y, ∥ ∥Y) lautet es:
Mittels der Vierecksungleichung für dX sieht man, daß dX : X2 → [0, ∞) gleichmäßig stetig bzgl. der für x1, x2, x3, x4 ∈ X durch
Jede gleichmäßig stetige Funktion f ist offensichtlich stetig, d. h. sie erfüllt
Die gleichmäßige Stetigkeit bewirkt die Übertragung von Vollständigkeitseigenschaften: Das Bild einer Cauchy-Folge unter einer gleichmäßig stetigen Funktion ist wieder eine Cauchy-Folge. Ist daher f : X → Y bijektiv und gleichmäßig stetig und f−1 stetig, so ist mit Y auch X vollständig.
Gleichmäßige Stetigkeit läßt sich allgemeiner als für Funktionen zwischen metrischen Räumen auch im Rahmen uniformer Räume definieren.
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