Lexikon der Mathematik: Hyperbel
unendlich ausgedehnte Kurve zweiten Grades mit Mittelpunkt.
I. Hyperbel als Kegelschnitt: Eine Hyperbel ist Schnittfigur einer Ebene ϵ und eines Doppelkegels<?PageNum _454K, falls ϵ nicht durch die Spitze von K verläuft und der Winkel β zwischen ϵ und der Kegelachse kleiner ist als der halbe Öffnungswinkel α des Kegels (Kegelschnitt).
II. Ortsdefinition der Hyperbel: Eine Hyperbel ist die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte einer Ebene, für welche die Differenz der Abstände zu zwei festen Punkten F1 und F2 gleich einer Konstanten 2a ist (wobei a > 0 sein muß).
Dabei heißen F1 und F2 Brennpunkte, ihr Abstand |F1F2| (lineare) Exzentrizität 2e, und der Mittelpunkt der Strecke
Die längere Achse der Hyperbel (die durch die Brennpunkte verläuft) wird als Hauptachse und die dazu senkrechte Achse als Nebenachse bezeichnet. Die Schnittpunkte der Hyperbel mit der Hauptachse sind ihre Scheitel.
Die Hauptachse einer Hyperbel hat die Länge 2a, die Länge 2b der Nebenachse ergibt sich aus der Hauptachsenlänge und der linearen Exzentrizität durch
III. Gleichungen der Hyperbel: Wählt man ein kartesisches Koordinatensystem so, daß die x-Achse mit der Hauptachse und die y-Achse mit der Nebenachse der zu beschreibenden Hyperbel zusammenfällt, dann läßt sich eine Hyperbel bezüglich dieses Koordinatensystems durch die Mittelpunktsgleichung
Legt man die Asymptoten einer gegebenen Hyperbel (d. h. die Geraden a1 und a2, denen sich die Hyperbel für sehr weit vom Mittelpunkt entfernte Punkte beliebig weit annähert) als Achsen eines Koordinatensystems fest, so läßt sich eine besonders einfache Hyperbelgleichung angeben, die Asymptotengleichung der Hyperbel:
Für den Spezialfall
Weiterhin gilt, falls die x-Achse mit der Hauptachse und der Koordinatenursprung mit einem Hauptscheitel der Hyperbel zusammenfällt, die Scheitelgleichung der Hyperbel:
Dabei heißt p Halbparameter der Hyperbel und ist gleich der Hälfte der Länge der auf der Hauptachse in einem der Brennpunkte senkrecht stehenden Sehne der Hyperbel.
Schließlich lassen sich die folgenden Hyperbelgleichungen in Polarkoordinaten (r, φ) angeben:
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