der topologische Abschluß der linearen Hülle einer Menge.

Es seien T ein topologischer Vektorraum und M ⊆ T eine Teilmenge von T. Ist dann Span M die lineare Hülle von M, so heißt der topologische Abschluß \(\overline{\text{Span}M}\) der linearen Hülle die lineare abgeschlossene Hülle von M.

Lineare Algebra

A. Janßen

Die lineare Algebra umfaßt jenes Teilgebiet der Algebra, in welchem Vektorräume, lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen sowie lineare, bilineare (multilineare) Funktionen und quadratische Formen untersucht werden.

Ihre Ursprünge hat die lineare Algebra in der Untersuchung linearer Gleichungen und linearer Gleichungssysteme; hieraus hat sich die Theorie der Determinanten entwickelt, die gegen Ende des 17. Jahrhunderts praktisch gleichzeitig und unabhängig voneinander in Japan von Seki Kowa und in Europa von Leibniz erstmals beschrieben wurden. Leibniz besaß hierzu bereits eine voll ausgebildete Symbolik, welche sich aber nicht allgemein durchsetzte. Die Bezeichnung Determinante wurde dann auch erst über hundert Jahre später von Gauß eingeführt; das erste deutschsprachige Lehrbuch zur Determinantentheorie erschien 1857. Drei Jahrzehnte zuvor hatten Binet und Cauchy die allgemeinen Regeln für die Multiplikation von Determinanten aufgestellt. 1750 wurde die auf der Determinantentheorie aufbauende Cramersche Regel entdeckt, mit der Gleichungssysteme mit gleicher Anzahl an Unbekannten und Gleichungen gelöst werden können (falls eine Lösung existiert). Andere, die im 18. Jahrhundert wichtige Untersuchungen über Determinanten durchführten, waren Bézout, Vandermonde, Laplace und Lagrange. Der erste, der Determinanten als spezielle Funktionen von (n×n)-Matrizen einführte, war Cauchy (1815), und der erste, der diese Funktionen durch drei charakteristische Eigenschaften definierte, Weierstraß (1864).

Wichtig für die weitere Entwicklung war dann der Übergang zur Matrixschreibweise für lineare Abbildungen, Bilinearformen und Koeffizienten linearer Gleichungssysteme. Als Begründer der Matrizenrechnung gilt Arthur Cayley, der 1855 die Bezeichnung Matrix für rechteckige Zahlenschemata als erster verwendete und drei Jahre später Summe, skalares Vielfaches und Produkt von Matrizen definierte. Durch die Gleichungen AA⁻¹ = I und A⁻¹A = I erklärt er das Inverse einer quadratischen Matrix. Den nach ihm und Hamilton benannten Satz, wonach eine Matrix ihr charakteristisches Polynom annulliert, bewies er für zwei- und dreireihige Matrizeen.

Die Bedingungen für die Lösbarkeit eines Systems nichthomogener linearer Gleichungen sind in allgemeiner Form zuerst von Fontené (1875), Rouché (1875) und Frobenius (1876) ausgesprochen worden; Frobenius führte 1879 auch den Begriff des Ranges einer Matrix ein, knapp drei Jahrzehnte nachdem Sylvester schon mit „Rang-Argumenten“ gearbeitet hatte.

Ende des 19. Jahrhunderts war das Problem des Lösens linearer Gleichungssysteme befriedigend gelöst. Ab dem 20. Jahrhundert standen in der linearen Algebra dann die Konzepte der allgemeinen Vektorräume über einem beliebigen Körper sowie beliebige lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen im Vordergrund der Untersuchungen. Erstmals definiert und untersucht wurden Vektorräume und Skalarprodukte (unter anderen Namen) schon 1844 von Graßmann in einer Abhandlung unter dem Namen „lineare Ausdehnungslehre“, welche damals aber kaum Beachtung fand. Eine Art Vorgriff auf den Begriff des Vektorraumes stammt von Möbius (1827). Der erste, der ein vollständiges Axiomensystem eines (reellen) Vektorraumes angab, war Banach (1922). Vorarbeiten hierzu wurden im frühen 20. Jahrhundert u. a. von Caratheodory und Weyl geleistet. Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen wurden dabei nach Wahl zweier Basen in den Vektorräumen schon durch Matrizen repräsentiert; entscheidend war dabei, daß diese Matrixdarstellung durch geeignete Wahl der Basen „einfache“ Gestalt annehmen konnte (Jordansche Normalform).

Ein wichtiger Spezialfall der linearen Abbildungen sind die Linearformen, d. h. lineare Abbildungen eines Vektorraumes in seinen zugrundeliegenden Körper. Bzgl. der elementweise definierten Verknüpfungen bildet die Menge aller Linearformen auf einem 𝕂-Vektorraum V selbst einen 𝕂-Vektorraum, den Dualraum V^∗. Mittels der Vorschrift v(f) = f(v) für alle v ∈ V, f ∈ V^∗, lassen sich die Vektoren aus V als Linearformen auf V^∗ auffassen. Ist V endlich-dimensional, so erhält man hierdurch einen Isomorphismus zwischen V und V^∗∗ := (V^∗)^∗.

Neben den linearen Abbildungen rückten Anfang des 20. Jahrhunderts dann auch lineare, bilineare und quadratische Formen sowie multilineare Abbildungen mehr und mehr ins Zentrum der Untersuchungen. Bei der natürlichen Verallgemeinerung des Begriffes des Vektorraumes über einem Körper 𝕂 mittels des Begriffes eines Moduls über einem Ring ℝ bleiben viele der Sätze über Vektorräume erhalten.

Die lineare Algebra gehört heute zum Grundkanon des Mathematikstudiums an allen wissenschaftlichen Hochschulen.

[1] Fischer, F.: Lineare Algebra. Vieweg Braunschweig/Wiesbaden, 1995.
[2] Jänich, K.: Lineare Algebra. Springer Berlin Heidelberg New York, 1998.
[3] Koecher, M.: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Springer Berlin Heidelberg New York, 1997.
[4] Kowalsky, H.-J.: Lineare Algebra. Walter de Gruyter Berlin, 11. Aufl., 1998.
[5] Weiß, Peter: Lineare Algebra und analytische Geometrie. Universitätsverlag Rudolf Trauner Linz, 1989.