eine der Differentiationsregeln. Sie zeigt, wie ein Produkt reell- oder komplexwertiger Funktionen abzuleiten ist: Ist D ⊂ ℝ, und sind die Funktionen f, g : D → ℝ differenzierbar an der inneren Stelle x ∈ D, so ist auch fg differenzierbar an der Stelle x, und es gilt \begin{eqnarray}(fg{)}^{\prime}(x)={f}^{\prime}(x)g(x)+f(x){g}^{\prime}(x).\end{eqnarray}

Die Produktregel gilt auch für allgemeinere Bereiche, etwa im Fall D ⊂ ℝⁿ. Dabei sind f′ (x)g(x) und f (x)g′ (x) Produkte von Zahlen und einzeiligen Matrizen.

Produktreihe, eine Reihe der Form \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p}_{n}\end{eqnarray}

zu zwei gegebenen Reihen \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\displaystyle \sum _{\nu =0}^{\infty }{a}_{\nu } & \text{und} & \displaystyle \sum _{\kappa =0}^{\infty }{b}_{\kappa }\end{array},\end{eqnarray}

wobei die Produkte a_νb_κ in beliebiger Weise in eine Folge angeordnet seien und p_n hieraus durch Zusammenfassung von Gruppen endlich vieler Produkte entsteht.

Genauer: Es existieren nichtleere paarweise disjunkte endliche Teilmengen A(n) von ℕ₀ × ℕ₀ (n ∈ ℕ₀) mit \begin{eqnarray}{{\mathbb{N}}}_{0}\times {{\mathbb{N}}}_{0}=\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\bigcup }}A(n)\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}{p}_{n}:=\displaystyle \sum _{(\nu, \kappa )\in A(n)}{a}_{\nu }{b}_{\kappa }.\end{eqnarray}

Hierbei ist natürlich in erster Linie an reell- oder komplexwertige Folgen (a_ν) und (b_κ) gedacht. Aber durchaus möglich ist zum Beispiel, daß die a_ν in einem Banachraum E, die b_κ in einem Banachraum F liegen und das Produkt über eine bilineare Abbildung von E×F in einen weiteren Banachraum G gebildet ist.

Sind die beiden Reihen \({\Sigma }_{\nu =0}^{\infty }{a}_{\nu }\) und \({\Sigma }_{\kappa =0}^{\infty }{b}_{\kappa }\) absolut konvergent, so ist auch die Reihe \({\Sigma }_{n=0}^{\infty }{p}_{n}\) absolut konvergent, und man hat \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p}_{n}=\left(\displaystyle \sum _{\nu =0}^{\infty }{a}_{\nu }\right)\left(\displaystyle \sum _{\kappa =0}^{\infty }{b}_{\kappa }\right).\end{eqnarray}

Eine für viele Anwendungen – etwa die Multiplikation von Potenzreihen – interessante Produktbildung von Reihen ist die als Cauchy-Produkt: Sind \({\Sigma }_{\nu =0}^{\infty }{a}_{\nu }\) und \({\Sigma }_{\nu =0}^{\infty }{b}_{\nu }\) Reihen, so bildet man dazu eine Produktreihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{p}_{n}\end{eqnarray}

durch Anordnung nach Schrägzeilen\begin{eqnarray}{p}_{n}:=\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}{a}_{n-\nu }{b}_{\nu }(={a}_{n}{b}_{0}+{a}_{n-1}{b}_{1}+\cdots +{a}_{0}{b}_{n}).\end{eqnarray}

Die Konvergenzaussage hierzu liefert der Reihenproduktsatz von Cauchy (Cauchy, Reihenproduktsatz von). Man vergleiche dazu auch den Satz von Mertens (Mertens, Satz von, über das Cauchy-Produkt).

Die Multiplikation von Dirichlet-Reihen\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{\nu =1}^{\infty }\frac{{a}_{\nu }}{{\nu }^{z}}\end{eqnarray}

etwa führt zur Produktbildung \begin{eqnarray}{p}_{n}:=\displaystyle \sum _{\nu \cdot \kappa =n}{a}_{\nu }{b}_{\kappa }.\end{eqnarray}