Lexikon der Mathematik: Riemann-Integral
ein wesentliches Werkzeug der ein- und mehrdimensionalen Analysis.
Es sei hier ein (relativ) einfacher Zugang zum eindimensionalen Riemann-Integral skizziert: (Für eine allgemeinere entsprechende Darstellung des mehrdimensionalen Falls vergleiche man mehrdimensionales Integral.)
Für ein beliebiges beschränktes Intervall mit den Endpunkten a und b (−∞ < a ≤ b< ∞) notieren wir hier |a, b|, also
Für \(A\subset {\mathbb{R}}\) bezeichne
Durch
Man erhält recht einfach die Eigenschaften:
- \({\mathfrak{E}}\ni h\ge 0\Rightarrow i(h)\ge 0,\)a′) i its isoton,
- \({\mathfrak{E}}\ni h\ge \Rightarrow |h|\ni {\mathfrak{E}}\wedge |(ih)|\le i(|h|)\)
- \({\mathfrak{E}}\ni h\ge, k\ge, \Rightarrow h\vee k, h\wedge k\in {\mathfrak{E}}, h.k\in {\mathfrak{E}}\) Für \(f\in {\mathfrak{F}}\) sei – mit inf ø := ∞ −
Statt \(\overline{i}(f)\) notiert man meist wieder i(f) oder auch
Die obigen Eigenschaften (a) bis (c) gelten entsprechend für \({\mathfrak{J}}\,\text{und}\,\overline{i}\).
Zusätzlich hat man die Eigenschaft:
Ein stärker an der Anschauung orientierter, aber weniger verallgemeinerungsfähiger Zugang (über Einschließung durch Ober- und Untersummen) ist unter dem Stichwort bestimmtes Integral zu finden.
Auf Henry Léon Lebesgue geht die folgende Charakterisierung von Riemann-Integrierbarkeit zurück:
Eine reellwertige Funktion f ist auf einem beschränkten Intervall genau dann Riemann-integrierbar, wenn sie dort beschränkt und fast überall stetig ist.
Eine externe Beschreibung rein innerhalb der Theorie des Riemann-Integrals (mit dem JordanInhalt) findet man unter Oszillation.
Das Riemann-Integral wird hinsichtlich seiner Verwendbarkeit vom Lebesgue-Integral in vielerlei Hinsicht deutlich übertroffen.
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